3^{\log_a 5} + 5^{\log_a 3} = 18 eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır?
Çözüm:
Verilen eşitlikte iki terim var:
3^{\log_a 5} + 5^{\log_a 3} = 18
Burada işlem yapmayı kolaylaştırmak için logaritma ve üstel ifadeler arasındaki dönüşümü kullanacağız.
1. Adım: Üslü ifadeleri logaritma cinsinden yazalım
Bir sayının üstel ifadesi, farklı tabanlarda logaritma dönüşümüyle sadeleştirilebilir. Özellikle aşağıdaki eşitlik çok faydalıdır:
x^{\log_a y} = y^{\log_a x}
Bu eşitlik, logaritmanın çarpan değişmeli özelliğinden gelir ve doğruluğu şöyledir:
- Sağdaki terim: y^{\log_a x} = e^{ \ln(y) \cdot \log_a x }
- Soldaki terim: x^{\log_a y} = e^{ \ln(x) \cdot \log_a y }
Buradaki \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} olduğu için her iki taraf birbirine eşittir.
Böylece, eşitlikte doğrudan bu özelliği kullanalım:
3^{\log_a 5} = 5^{\log_a 3}
Yani, problemdeki iki terim aslında eşittir.
2. Adım: Eşitliğe uygulayalım
Eşitlik:
3^{\log_a 5} + 5^{\log_a 3} = 18
Yukarıdan iki terim eşit olduğundan, eşitliğimiz:
3^{\log_a 5} + 3^{\log_a 5} = 18
Bu da
2 \cdot 3^{\log_a 5} = 18
Buradan:
3^{\log_a 5} = 9
3. Adım: Üslü ifadeyi çözelim
Bu durumda:
3^{\log_a 5} = 9
9 sayısı 3’ün karesi olduğundan:
3^{\log_a 5} = 3^2
Eksponentler eşit olmalı, yani:
\log_a 5 = 2
4. Adım: a değerini bulalım
\log_a 5 = 2 eşitliğini, logaritma tanımına göre yazalım:
a^2 = 5
Buradan:
a = \sqrt{5}
Sonuç:
Eşitliği sağlayan sayı
a = \sqrt{5}
Özet Tablosu
| Adım No | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | 3^{\log_a 5} = 5^{\log_a 3} olduğunu hatırlama | İki terim eşit |
| 2 | Eşitlikte terimleri birbirine eşitleme | 2 \times 3^{\log_a 5} = 18 |
| 3 | Üstü aynı taban için eşitleme | \log_a 5 = 2 |
| 4 | Logaritma tanımından a'yı bulma | a = \sqrt{5} |
Kısaca, verilen logaritmik eşitliği sağlayan sayı a = \sqrt{5}'tir.
Merhaba Abdurrahman,
Soruyu adım adım çözelim:
Problem
3^log_a(5) + 5^log_a(3) = 18 eşitliğini sağlayan a sayısını bulunuz.
- Ön koşullar
- a>0 ve a≠1 olmalıdır; çünkü logaritma tanımsal olarak bu aralıklarda geçerli.
- Üsleri ortak tabana çevirme
a tabanındaki logaritmaları kullanalım.
• log_a(3) = x ise a^x = 3
• log_a(5) = y ise a^y = 5
Buna göre:
3^log_a(5) = 3^y ve 5^log_a(3) = 5^x
- 3^y ve 5^x ifadelerinin a üslü hâli
• 3 = a^x ⇒ 3^y = (a^x)^y = a^(x·y)
• 5 = a^y ⇒ 5^x = (a^y)^x = a^(x·y)
Dolayısıyla eşitlik:
a^(x·y) + a^(x·y) = 18
2·a^(x·y) = 18
a^(x·y) = 9
- x·y’yı farklı yoldan bulma
- a^(x·y) = 9 ⇒ 3^y = 9 (çünkü 3^y = a^(x·y))
Buna göre 3^y = 9 = 3^2 ⇒ y = 2 - y = log_a(5) = 2 ⇒ a^2 = 5 ⇒ a = √5
- Sonuç
Elde ettiğimiz değer a = √5 hem a>0 şartını sağlar hem de a≠1 olduğundan geçerlidir.
Cevap: a = √5