Logaritma 6.1

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

6.PNG
6.PNG1021×434 15.7 KB

2

Soru:

\log 2 = a ve \log 3 = b olduğuna göre, \log_5 36 ifadesinin a ve b cinsinden eşitini bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle verilenleri hatırlayalım:

  • \log 2 = a
  • \log 3 = b

Burada herhangi bir taban belirtilmemiş, genellikle “log” ifadesi 10 tabanlı logaritma anlamına gelir. Soruda da öyle kabul edeceğiz.

Bizden istenen:
$$\log_5 36$$ ifadesini a ve b cinsinden yazmak.

1. Adım: Taban Değiştirme Formulünü Kullanma

Bir logaritmanın tabanını değiştirmek için:

\log_c d = \frac{\log d}{\log c}

Burada tüm logaritmalar aynı tabanda olmalıdır. Bizde “log” 10 tabanlı, öyle kabul edeceğiz.

2. Adım: İfade İçerisindeki Sayıları Faktörlerine Ayırma

36 sayısı asal çarpanlarına ayrılır:

36 = 2^2 \times 3^2

3. Adım: İstenen ifadeyi açalım

\log_5 36 = \frac{\log 36}{\log 5}

Burada \log 36 ve \log 5 ifadelerini a ve b cinsinden yazmamız gerek.

4. Adım: \log 36 ifadesini açma

\log 36 = \log (2^2 \times 3^2) = \log 2^2 + \log 3^2 = 2 \log 2 + 2 \log 3 = 2a + 2b

5. Adım: \log 5 ifadesini a ve b cinsinden bulma

5 sayısını 10 tabanında logaritmasını a ve b cinsinden nasıl ifade ederiz?

Bunu direkt a ve b cinsinden yazamayız çünkü 5 sayısı 2 ve 3 ile bölen asal çarpanlardan değil.

Fakat;

\log 5 = \log \left(\frac{10}{2}\right) = \log 10 - \log 2 = 1 - a

Çünkü \log 10 = 1 (10 tabanlı logaritmada)

6. Adım: Son ifadeyi yazma

Öyleyse:

\log_5 36 = \frac{2a + 2b}{1 - a}

Sonuç:

\boxed{ \log_5 36 = \frac{2a + 2b}{1 - a} }

Özet Tablo

İfade Açıklama Eşitlik
\log 2 Verilen a
\log 3 Verilen b
\log 36 Faktöriyeli 2a + 2b
\log 5 Taban 10’dan dönüşüm 1 - a
\log_5 36 Taban değiştirme ve sadeleştirme \frac{2a + 2b}{1 - a}

Herhangi bir sorunuz olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım @Abdurrahman2134

3

Merhaba @Abdurrahman2134,

Adım adım çözelim:

  1. Logaritma dönüşüm formülü
    \log_5 36 = \frac{\log 36}{\log 5}
    Burada tüm logaritmalar aynı tabanda (örneğin 10 tabanında) alınmıştır.

  2. 36’yı asal çarpanlarına ayırma ve logaritmasını yazma
    36 = 6^2 = (2\cdot3)^2 \;\;\Rightarrow\;\; \log 36 = \log\bigl((2\cdot3)^2\bigr) = 2\log(2\cdot3)
    = 2\bigl(\log2 + \log3\bigr) = 2(a + b)

  3. (\log5)’i (a) cinsinden yazma
    Taban 10’daysa
    \log5 = \log\frac{10}{2} = \log10 - \log2 = 1 - a

  4. Son ifadeyi bir araya getirme
    \log_5 36 = \frac{\log36}{\log5} = \frac{2(a + b)}{\,1 - a\,}

Cevap:
\boxed{\;\log_5 36 = \frac{2\,(a + b)}{1 - a}\;}

Umarım faydalı olmuştur. İyi çalışmalar! @Abdurrahman2134