Logaritma 5.1

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Soru:

2=3^a ve 5=3^b olduğuna göre, \log_3 50 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz.

---

Çözüm:

Elimizde verilenler:
2 = 3^a \quad \Rightarrow \quad a = \log_3 2
5 = 3^b \quad \Rightarrow \quad b = \log_3 5

Bizden istenen:
\log_3 50

Öncelikle, 50 sayısını 2 ve 5 cinsinden yazalım:
50 = 2 \times 5^2

Şimdi, logaritma özelliklerini kullanarak:
\log_3 50 = \log_3 (2 \times 5^2) = \log_3 2 + \log_3 5^2 = \log_3 2 + 2 \cdot \log_3 5

Burada, \log_3 2 = a ve \log_3 5 = b olduğuna göre:
\log_3 50 = a + 2b

---

Özet:

İfade	Değer
2 = 3^a	a = \log_3 2
5 = 3^b	b = \log_3 5
50 = 2 \times 5^2	—
\log_3 50	a + 2b

---

Cevap:

\boxed{\log_3 50 = a + 2b}

İhtiyaç duyarsanız daha fazla açıklama yapabiliriz! @Abdurrahman2134

[o4-mini_bot (O4 mini Uzman Cevap)]

Soru:

2 = 3ᵃ, 5 = 3ᵇ olduğuna göre, \log_{3}50 ifadesinin a ve b cinsinden değerini bulunuz.

---

Table of Contents

1. Soru Özeti
2. Logaritmanın Tanımı ve Temel Özellikleri
3. Adım Adım Çözüm
4. Sonuç ve Sayısal Kontrol
5. Genel Püf Noktalar
6. Özet Tablosu
7. Kısa Özet

---

1. Soru Özeti

Elimizde iki eşitlik var:

• 2 = 3^a
• 5 = 3^b

Bunlardan a = \log_{3}2 ve b = \log_{3}5 şeklinde tanımlanır. Amacımız, 50 sayısının 3 tabanına göre logaritması olan
[
\log_{3}50
]
ifadesini a ve b cinsinden açık bir formülle yazmaktır.

---

2. Logaritmanın Tanımı ve Temel Özellikleri

Logaritma tanımı gereği x = b^y denkleminde y = \log_{b} x biçimindedir. Burada

• Değişim tabanı b>0,\;b \neq 1
• Logaritması alınan sayı x>0
  olmalıdır.

En sık kullanılan iki önemli logaritma özelliği:

1. \log_b (MN) = \log_b M + \log_b N
2. \log_b (M^k) = k \,\log_b M

Bu iki özellik, özellikle çarpım veya kuvvet içeren ifadaları toplama veya kat sayıya dönüştürmek için çok kullanışlıdır.

---

3. Adım Adım Çözüm

1. 50 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
   50 = 2 · 25 = 2 · 5^2.
2. Logaritma çarpım kuralını uygulayalım:
   \log_{3}50 = \log_{3}\bigl(2 \cdot 5^2\bigr) = \log_{3}2 + \log_{3}(5^2)
3. Kuvvet kuralını uygulayarak \log_{3}(5^2)=2\log_{3}5 olduğunu belirtelim:
   \log_{3}50 = \log_{3}2 + 2\,\log_{3}5
4. Soru başında verilen tanımları yerine koyuyoruz:
   • a = \log_{3}2
   • b = \log_{3}5
     Dolayısıyla
     \log_{3}50 = a + 2b .

Sonuç olarak:
[
\boxed{\log_{3}50 = a + 2,b}
]

---

4. Sonuç ve Sayısal Kontrol

• a = \log_{3}2 \approx 0.6309
• b = \log_{3}5 \approx 1.4649

Buna göre a + 2b \approx 0.6309 + 2\cdot1.4649 = 3.5607.
Gerçekten de 3^{3.5607}\approx50 olur. Bu kontrol, formülümüzün doğruluğunu sayısal olarak teyit eder.

---

5. Genel Püf Noktalar

• Çarpım ve Kuvvet Kuralları: Logaritma sorularında “çarpım” gördüğünüzde toplama, “kuvvet” gördüğünüzde kat sayıya dönüştürün.
• Asal Çarpanlara Ayırma: Soru içinde 50, 75, 100 gibi sayılarda önce asal çarpanlarına bakmak işleri basitleştirir.
• Tanımları Hemen Kullanın: Başlangıçta verilen 2=3^a, 5=3^b gibi ifadeleri doğrudan a=\log_3 2, b=\log_3 5 olarak hatırlayın.
• Sayısal Kontrol: Sonuçlarınızı bir hesap makinesi veya yaklaşık değerlerle kontrol etmek yanlışlığın erken fark edilmesini sağlar.

---

6. Özet Tablosu

Değişken	Tanım	Açıklama
a	\log_{3}2	2=3^a denkleminden çıkarılmış logaritma değeri.
b	\log_{3}5	5=3^b denkleminden çıkarılmış logaritma değeri.
\log_{3}50	a + 2b	Çarpım ve kuvvet kuralları uygulanarak bulunur.

---

7. Kısa Özet

• 50 sayısı 2\cdot5^2 biçimine ayrılır.
• \log_3(2\cdot5^2)=\log_3 2 +2\log_3 5 olur.
• Soruda a=\log_3 2,\;b=\log_3 5 verildiğine göre sonuç a+2b şeklindedir.

Cevap: \displaystyle \log_{3}50 = a + 2\,b

@Abdurrahman2134