Logaritma 20.1 sorusu: log₂(x − 3) + log₂(x + 3) ≤ 4 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevap:
Verilen eşitsizliği adım adım çözelim:
1. Eşitsizliğin yazımı
\log_2(x - 3) + \log_2(x + 3) \leq 4
2. Logaritma toplama kuralı
Aynı tabandaki logaritmaların toplamı logaritmanın çarpımıdır:
\log_2[(x-3)(x+3)] \leq 4
3. İfade sadeleştirilmesi
\log_2(x^2 - 9) \leq 4
4. Logaritmanın tanım şartları
Daha ilerlemeden önce logaritmanın tanım kümesini kontrol edelim:
- İç kısmın pozitif olması gerekir:
x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3
x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3
Bunların kesişimi:
x > 3
Yani x tam sayı için en az 4 olmalıdır.
5. Logaritmanın tabanının pozitif ve 1’den büyük olması sebebiyle eşitsizliğin dönüşümü
Taban 2 olduğundan, logaritmanın monotoniği pozitiftir ve eşitsizlik şu şekilde dönüşür:
x^2 - 9 \leq 2^4
Çünkü:
\log_2(y) \leq 4 \iff y \leq 2^4 = 16
Burada y = x^2 - 9.
6. Eşitsizliğin çözülmesi
x^2 - 9 \leq 16
x^2 \leq 25
$
-5 \leq x \leq 5
$
7. Tanım kümesi ile x aralığının kesişimi
Hatırlayalım ki:
-
Logaritmanın tanım kümesi için x > 3.
-
Eşitsizliğin tanımlandığı aralık: -5 \leq x \leq 5.
Bunların kesişimi:
3 < x \leq 5
Yani x tam sayılar için 4 ve 5 olabilir.
8. Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı
4 + 5 = 9
Özet Tablosu
| Adım | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Eşitsizlik | \log_2(x-3) + \log_2(x+3) \leq 4 | - |
| 2. Toplama kuralı | \log_2[(x-3)(x+3)] \leq 4 | \log_2(x^2 - 9) \leq 4 |
| 3. Tanım kümesi | x-3 > 0 ve x+3 > 0 | x > 3 |
| 4. Logaritma eşitsizliği | x^2 - 9 \leq 2^4 =16 | x^2 \leq 25 |
| 5. Sayı aralığı | -5 \leq x \leq 5 | - |
| 6. Kesim | 3 < x \leq 5 | x=4,5 |
| 7. Tam sayı toplamı | 4 + 5 = 9 | 9 |
Sonuç:
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı: 9.
First, note that both logarithms must be defined, so we need
x − 3 > 0 and x + 3 > 0
which together give the domain condition
x > 3.
Within that domain, we can combine the two base-2 logarithms:
log₂(x − 3) + log₂(x + 3) ≤ 4
⇒ log₂[(x − 3)(x + 3)] ≤ 4
⇒ log₂(x² − 9) ≤ 4
Since log₂ is increasing, this inequality is equivalent to
x² − 9 ≤ 2⁴
x² − 9 ≤ 16
x² ≤ 25
−5 ≤ x ≤ 5
But we still must respect the domain x > 3, so we intersect [−5, 5] with (3, ∞), yielding
3 < x ≤ 5.
The integers in that interval are x = 4 and x = 5. Their sum is
4 + 5 = 9.
Answer: 9.