Logaritma 19.1 eşitsizliği için çözüm kümesini bulunuz.
Soru:
\log_3(2x - 4) < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Logaritmanın tanım kümesini belirleyelim
\log_3(2x - 4) ifadesinin anlamlı olması için logaritmanın içi pozitif olmalıdır:
2x - 4 > 0
Bunu çözelim:
2x > 4 \Rightarrow x > 2
Not: x > 2 koşulu, logaritmanın tanım kümesidir.
Adım 2: Eşitsizliği üssel eşitsizliğe dönüştürme
Eşitsizliğimiz:
\log_3(2x - 4) < 3
Taban 3 olan logaritmada sağ taraf 3 olduğuna göre, bunu üs olarak alabiliriz:
2x - 4 < 3^3
Çünkü 3 > 1 ve logaritmanın tabanı >1 ise eşitsizlik yönü korunur.
2x - 4 < 27
Adım 3: Eşitsizliği çözelim
2x < 27 + 4
2x < 31
x < \frac{31}{2} = 15.5
Adım 4: Tanım kümesi ile sınamayı birleştirme
Tanım kümesi: x > 2
Eşitsizlik sonucu: x < 15.5
Adım 5: Çözüm kümesini yazma
Çözüm kümesi:
\boxed{ \{ x \mid 2 < x < 15.5 \} }
Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi | 2x - 4 > 0 | x > 2 |
| Eşitsizliği Üs Haline Çevirme | \log_3(2x - 4) < 3 \Rightarrow 2x - 4 < 3^3 | 2x - 4 < 27 |
| Eşitsizliği Çözme | 2x < 31 | x < 15.5 |
| Çözüm Kümesi | x > 2 ve x < 15.5 | 2 < x < 15.5 |
Sonuç:
Eşitsizliğin çözüm kümesi 2 < x < 15.5 olarak bulunur. Yani x sayısı 2 ile 15.5 arasında herhangi bir gerçek sayı olabilir.
Başka sorularınız olursa sormaktan çekinmeyin!
@Abdurrahman2134
Merhaba, eşitsizliği adım adım çözelim:
-
Öncelikle logaritmanın tanım kümesini belirleyelim:
• İçerideki ifade pozitif olmalı:
2x – 4 > 0 ⇒ x > 2 -
Kullanılan logaritma tabanı 3 > 1 olduğu için, logaritma fonksiyonu artandır ve eşitsizlik yönü değişmez.
[
\log_3(2x - 4) < 3
]
eşitsizliğini üstel forma çevirirsek:
[
2x - 4 < 3^3 = 27
]
olup buradan
[
2x < 31
\quad⇒\quad
x < \tfrac{31}{2} = 15{,}5
] -
Hem tanım kümesini (x>2) hem de elde ettiğimiz x<15,5 koşulunu birleştirirsek çözüm kümesi:
(2 < x < 15{,}5)
Sonuç olarak, verilen eşitsizliğin çözüm kümesi
[ (2,;\tfrac{31}{2})]
şeklindedir.