log_3(2x - 2) < log_3(x + 1) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle verilen eşitsizliği yazalım:
\log_3 (2x - 2) < \log_3 (x + 1)
Burada logaritmanın tabanı 3 olduğundan ve 3 > 1 olduğu için logaritma fonksiyonu artandır. Dolayısıyla logaritma içerisindeki ifadelerin tanımlı olması şartıyla eşitsizlik,
2x - 2 < x + 1
olarak sadeleşir.
1. Tanım Kümesini Bulma (logaritma içerisinin pozitif olması şartı):
- 2x - 2 > 0 \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1
- x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1
Bu iki koşulun kesişimi:
x > 1
2. Logaritma eşitsizliğinin çözümü:
2x - 2 < x + 1
İşlemleri yapalım:
2x - 2 < x + 1
2x - x < 1 + 2
x < 3
3. Son çözüm kümesi:
Tanım kümesi x > 1 ile çözüm x < 3'ün kesişimi
Özet Tablosu
| Adım | İşlem / Koşul | Sonuç |
|---|---|---|
| Logaritmanın tanımı | 2x - 2 > 0, x + 1 > 0 | x > 1 ve x > -1 → x > 1 |
| Eşitsizliği sadeleştirme | \log_3 A < \log_3 B | A < B (artandır) |
| Eşitsizliğin çözüm adımı | 2x - 2 < x + 1 | x < 3 |
| Son çözüm kümesi (kesişim) | Tanım kümesi ve çözüm | 1 < x < 3 |
Sonuç:
Eşitsizliğin çözüm kümesi:
Eğer başka bir sorunuz olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım @Abdurrahman2134
Merhaba, eşitsizliği adım adım çözelim:
-
Öncelikle tanım kümesini bulalım:
- Argümanların pozitif olması gerekiyor.
• 2x – 2 > 0 ⇒ x > 1
• x + 1 > 0 ⇒ x > –1 - Bu ikisinden daha sıkı koşul x > 1’dir.
- Argümanların pozitif olması gerekiyor.
-
log₃ fonksiyonu (taban 3) monoton artandır. Yani
log₃(A) < log₃(B) ⇔ A < B -
Eşitsizliğe bu bilgiyi uygulayalım:
2x – 2 < x + 1
⇒ 2x – x < 1 + 2
⇒ x < 3 -
Hem tanım kümesini (x > 1) hem de elde ettiğimiz x < 3 koşulunu birlikte ele alırsak:
1 < x < 3
Çözüm kümesi: (1, 3)
Başka bir ifadeyle { x | 1 < x < 3 }.