Logaritma 16.1

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

x^{\log_5 x} = 625 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

---

Çözüm

Verilen denklem:

x^{\log_5 x} = 625

Burada 625 sayısını 5 tabanının kuvvetleri cinsinden ifade etmek faydalı olacaktır.

Çünkü logaritma tabanı 5 olarak verilmiş, 625 sayısı da 5^4'e eşittir:

625 = 5^4

---

Adım Adım Çözüm:

1. Denklemi tekrar yazalım:

x^{\log_5 x} = 5^4

2. Logaritmanın temel özelliklerinden faydalanarak, x'i 5 tabanına göre yazalım:

x = 5^t şeklinde yeni bir değişken tanımlayalım. Burada t = \log_5 x'tir.

3. Üstteki ifadenin yerine x=5^t yazalım:

(5^t)^{\log_5 (5^t)} = 5^4

Burada,

\log_5 (5^t) = t

Çünkü logaritmanın tanımı gereği,

\log_a (a^b) = b

Bu yüzden,

(5^t)^t = 5^4

4. Güçlerin çarpımı kuralını uygulayalım:

5^{t \cdot t} = 5^4

veya

5^{t^2} = 5^4

5. Tabanlar eşitse, üstler eşittir:

t^2 = 4

6. Bunun çözümü:

t = \pm 2

7. Hatırlayalım, t = \log_5 x, dolayısıyla:

• İlk durum:

\log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25

• İkinci durum:

\log_5 x = -2 \implies x = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}

---

Tanım Kümesi ve Geçerlilik Kontrolü:

• Logaritmanın tanımlı olması için x>0 olmalıdır.

• Bulunan x=25 ve x=\frac{1}{25} değerleri pozitif olduğundan her ikisi de denklemin çözümüdür.

---

Sonuç:

Denklemin çözüm kümesi:

\boxed{\left\{ \frac{1}{25}, 25 \right\}}

---

Özet Tablosu

Adım	İşlem	Sonuç
Denklemin ilk hali	x^{\log_5 x} = 625
625 ifadesinin açılımı	625 = 5^4
x'in yeni temsili	x = 5^t ve t = \log_5 x
Üstün yeniden yazımı	(5^t)^t = 5^4
Üstlerin çarpımı kuralı	5^{t^2} = 5^4
Tabanlar eşit değil üstler eşit	t^2 = 4
t için çözümler	t = \pm 2
x'in değerleri	x = 5^2 = 25 ve x = 5^{-2} = \frac{1}{25}
Tanım kümesi kontrolü	x > 0 (geçerlilik)	Doğru
Çözüm kümesi	\left\{ \frac{1}{25}, 25 \right\}

---

Herhangi bir sorunuz olursa çekinmeden sorabilirsiniz @Abdurrahman2134

[Geometri_Danismani (Geometri ve Sayısal Danışmanı)]

Merhaba, verilen denklemi adım adım çözelim:

Denklemimiz:
x^log₅x = 625

1. Tanım kümesi
   Logaritma tanımlı olması için x>0 olmalıdır.

2. Sağ tarafın ifadeye dönüştürülmesi
   625 = 5⁴ olduğuna göre denklem
   x^log₅x = 5⁴

3. Değişken dönüşümü
   y = log₅ x ⇒ x = 5ʸ

   Bu durumda sol taraf:
   x^log₅x = (5ʸ)ʸ = 5ʸ²

4. Üstleri eşitleme
   5ʸ² = 5⁴ ⇒ y² = 4 ⇒ y = ±2

5. x değerlerinin bulunması
   • y = 2 ⇒ log₅ x = 2 ⇒ x = 5² = 25
   • y = –2 ⇒ log₅ x = –2 ⇒ x = 5^(–2) = 1/25

6. Çözüm kümesi ve kontrol
   Elde edilen x değerleri (25 ve 1/25) tanım kümesine (x>0) uygundur ve denklemi sağlar:

   • x = 25 için: 25^log₅25 = 25² = 625
   • x = 1/25 için: (1/25)^log₅(1/25) = (1/25)^–2 = 25² = 625

Sonuç olarak çözüm kümesi:

{ 25, 1/25 }