Logaritma 15.1

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

15.PNG
15.PNG1228×604 19.4 KB

2

Soru:

\log 2 - \log x^3 = \log x + \log\left(\frac{1}{x^3}\right) olduğuna göre, x değerini bulunuz.

Cevap:

Öncelikle verilen ifadeyi adım adım inceleyelim:

\log 2 - \log x^3 = \log x + \log\left(\frac{1}{x^3}\right)

1. Logaritmanın temel özelliklerini kullanarak işlemleri sadeleştirelim

  • \log a - \log b = \log\left(\frac{a}{b}\right) kuralı vardır.

Bu yüzden:

\log 2 - \log x^3 = \log\left(\frac{2}{x^3}\right)

  • Ayrıca, \log a + \log b = \log (a \cdot b) olduğundan:

\log x + \log\left(\frac{1}{x^3}\right) = \log\left(x \cdot \frac{1}{x^3}\right) = \log\left(x^{1 - 3}\right) = \log\left(x^{-2}\right) = \log\left(\frac{1}{x^2}\right)

2. Eşitliği sadeleştirilmiş haliyle yazalım

\log\left(\frac{2}{x^3}\right) = \log\left(\frac{1}{x^2}\right)

3. Logaritmanın tanımından dolayı logaritma fonksiyonu tek-biryerdir

\frac{2}{x^3} = \frac{1}{x^2}

4. İki kesir eşitliğini çözelim

\frac{2}{x^3} = \frac{1}{x^2} \implies

Her iki tarafı x^3 ile çarparak paydaları kaldıralım:

2 = \frac{1}{x^2} \cdot x^3 = x

5. Sonuç

x = 2

Sonuç Tablosu:

Adım İşlem Sonuç
1 \log 2 - \log x^3 = \log \frac{2}{x^3} \log \frac{2}{x^3}
2 \log x + \log \frac{1}{x^3} = \log \frac{1}{x^2} \log \frac{1}{x^2}
3 \log \frac{2}{x^3} = \log \frac{1}{x^2} \frac{2}{x^3}=\frac{1}{x^2}
4 \frac{2}{x^3} = \frac{1}{x^2} \Rightarrow 2 = x x=2

Özet:

Verilen eşitlikte logaritma özellikleri kullanılarak sadeleştirme yapılmıştır. Logaritmanın birebir özelliği sayesinde içerikler eşitlenmiş ve basit bir kesir denklemine ulaşılmıştır. Sonuç olarak x=2 bulunmuştur.

Eğer farklı bir konuda daha destek istersen, yardımcı olmaktan mutluluk duyarım @Abdurrahman2134

3

Soru: log 2 − log x³ = log x + log (1/x³) olduğuna göre, x’i bulunuz.

Table of Contents

  1. Denklemin İncelenmesi
  2. Logaritma Özellikleri
  3. Adım Adım Çözüm
  4. Sonucun Kontrolü ve Geçerlilik Alanı
  5. Özet Tablosu
  6. Kısaca Sonuç

1. Denklem İncelenmesi

Verilen denklem:

log 2 − log x³ = log x + log (1/x³)

Burada “log” ibaresi, lise müfredatına göre genellikle tabanı 10 olan ondalık logaritma (common logarithm) anlamındadır. Çözümde:

  • Tüm ifadelerde ortak taban (10) kullanıldığından, dönüşümler doğrudan uygulanabilir.
  • Çözüme geçmeden önce geçerlilik alanı yani x’in alabileceği değerler belirlenmelidir:
    • Logaritmanın tanımlı olması için içindeki ifade pozitif olmalıdır.
    • Özellikle x^3>0 ⇔ x>0 ve 1/x^3>0 ⇔ x>0 koşulları sağlanmalıdır.
    Dolayısıyla x>0 şartını unutmayız.

2. Logaritma Özellikleri

Logaritma denklemlerini çözerken en çok kullanılan üç temel özellik vardır:

  1. Toplama özelliği

    \log A + \log B = \log (A \cdot B)

  2. Çıkarma özelliği

    \log A - \log B = \log \bigl(\tfrac{A}{B}\bigr)

  3. Kuvvet özelliği

    \log (A^n) = n \,\log A

Ayrıca

\log \bigl(\tfrac{1}{A}\bigr) = -\,\log A

özelliği de sonuca ulaşmada yardımcı olacaktır.

3. Adım Adım Çözüm

Adım İşlem Açıklaması Dönüşüm
1 Soldaki farkı açalım: \,\log2 - \log x^3=\log\bigl(\tfrac{2}{x^3}\bigr) \log\bigl(\tfrac{2}{x^3}\bigr)
2 Sağdaki toplamı açalım: \log x + \log(1/x^3)=\log\bigl(x\cdot\tfrac1{x^3}\bigr)=\log\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr) \log\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr)
3 Böylece denklem \log\bigl(\tfrac{2}{x^3}\bigr) = \log\bigl(\tfrac1{x^2}\bigr) şeklini alır. —
4 Logaritmanın bire birliği nedeniyle içerikler eşitlenir: \tfrac{2}{x^3} = \tfrac1{x^2}. —
5 Denklem düzenlenir: 2 = \tfrac{x^3}{x^2} = x. x=2

Elde edilen sonuç $x = 2$’dir.

4. Sonucun Kontrolü ve Geçerlilik Alanı

  • Geçerlilik alanı için x>0 demiştik. Çıkan x=2 bu koşulu sağlar.

  • Bulduğumuz değeri orijinal denkleme ikame ederek kontrol ederiz:

    Sol taraf:
    \log2 - \log(2^3) = \log2 - \log8 = \log2 - \log(2^3) = \log2 - 3\,\log2 = -2\,\log2

    Sağ taraf:
    \log2 + \log\bigl(\tfrac1{2^3}\bigr) = \log2 + \log(2^{-3}) = \log2 - 3\,\log2 = -2\,\log2

    Soldaki ve sağdaki ifadeler eşit olduğundan x=2 doğru çözümdür.

5. Özet Tablosu

Adım İşlem Türü Dönüşüm ve Sonuç
Fark açma \log A - \log B \log(2/x^3)
Toplama açma \log C + \log D \log(1/x^2)
Eşitleme \log E = \log F E=F
Basit cebir Kesir düzenleme 2=x
Geçerlilik kontrol x>0 koşulu Sağlanıyor (2>0)

6. Kısaca Sonuç

  • Denklem \,\log2 - \log x^3 = \log x + \log(1/x^3)\, olduğundan, adım adım logaritma kuralları uygulandığında x=2 olarak bulunur.
  • Bulunan değer geçerlilik alanı x>0 şartını sağlar ve orijinal denklemi de doğrular.

Sonuç: x = 2

@Abdurrahman2134