Merhaba, adım adım inceleyelim:
1. Tanım kümesi
Ln fonksiyonlarının içleri pozitif olmalı:
- 2 - x > 0\ \Rightarrow\ x < 2
- 3 - x > 0\ \Rightarrow\ x < 3
Dolayısıyla ortak tanım kümesi x<2’dir.
2. Denklemin dönüştürülmesi
Verilen denklem
\ln(2 - x)\;-\;\ln(3 - x)=1
olduğuna göre, logaritma farkı kuralı ile
$$\ln\frac{2 - x}{,3 - x,}=1$$
elde edilir.
3. Üsse yükseltme
Her iki tarafı e tabanında üsselerseniz:
$$\frac{2 - x}{3 - x}=e^1=e$$
4. Cebirsel çözüm
[
\begin{aligned}
2 - x &= e(3 - x)\
2 - x &= 3e - e,x\
2 - x + e,x &= 3e\
x(e - 1) &= 3e - 2\
x &= \frac{3e - 2}{,e - 1,}
\end{aligned}
]
Yaklaşık olarak
$$x\approx\frac{3\cdot2{,}71828 - 2}{2{,}71828 - 1}\approx \frac{8{,}1548 - 2}{1{,}71828}\approx3{,}58$$
5. Çözümün tanıma uygunluğu
Bulduğumuz x\approx3{,}58, ancak tanım kümesinde x<2 olması gerekiyordu. Dolayısıyla bu değer tanım kümesini sağlamaz.
Sonuç olarak, denklem gerçek sayılar kümesinde hiçbir çözüme sahip değildir.
Çözüm kümesi boş kümedir:
$$\boxed{\varnothing}$$
ln(2 - x) - ln(3 - x) = 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Cevap:
Bu soruda doğal logaritma (ln) cinsinden verilen bir denklem var:
\ln(2 - x) - \ln(3 - x) = 1
Amaç, bu eşitliği sağlayan x değerini bulmaktır.
İçindekiler
- Verilen Denklemin İncelenmesi
- Logaritma Özelliklerinin Kullanımı
- Denklemin Çözümü
- Çözümün Kontrolü ve Sonuç
- Özet Tablosu
1. Verilen Denklemin İncelenmesi
Denklemde:
- \ln(2 - x) ifadesi var ve 2 - x > 0 olmalı ki ln tanımlı olsun.
- \ln(3 - x) ifadesi var ve 3 - x > 0 olmalı.
Buna göre:
2 - x > 0 \implies x < 2
3 - x > 0 \implies x < 3
Bu iki koşulu birlikte değerlendirirsek, x < 2 aralığında olmalıdır.
2. Logaritma Özelliklerinin Kullanımı
Logaritmanın farkı, bölme işlemine eşittir:
\ln a - \ln b = \ln \left(\frac{a}{b}\right)
Bunu kullanarak denklemi şu hale getirebiliriz:
\ln \left(\frac{2 - x}{3 - x}\right) = 1
3. Denklemin Çözümü
Şimdi, logaritma eşitliğinde doğal logaritmanın tabanı e olduğu için:
\ln y = 1 \implies y = e^1 = e
Buna göre:
\frac{2 - x}{3 - x} = e
Bu kesir eşitliğini çözelim:
2 - x = e(3 - x)
2 - x = 3e - e x
Şimdi, x'li terimleri bir yana, sabitleri diğer yana toplayalım:
2 - x = 3e - e x
2 - 3e = - e x + x
2 - 3e = x(- e + 1)
x = \frac{2 - 3e}{1 - e}
4. Çözümün Kontrolü ve Sonuç
- Yukarıdaki x değeri gerçek sayıdır.
- e \approx 2.718 olduğuna göre, değer yaklaşık olarak:
x \approx \frac{2 - 3 \times 2.718}{1 - 2.718} = \frac{2 - 8.154}{1 - 2.718} = \frac{-6.154}{-1.718} \approx 3.58
Ancak başlangıçta x < 2 koşulunun sağlanması gerektiğini belirtmiştik, bu durumda x \approx 3.58 değeri tanımsızlık yaratacaktır, çünkü:
2 - x = 2 - 3.58 = -1.58 < 0
tanımlı değildir.
Böylece, sonuç x < 2 koşuluyla çelişmektedir.
Bu durumda ne yapmalıyız?
Daha dikkatli inceleyelim.
Çözümümüz x = \frac{2 - 3e}{1 - e} olarak bulunmuştur.
Eğer payda ve payda negatifse, bölme sonucu pozitif olabilir.
Bu değeri tekrar yazalım:
x = \frac{2 - 3e}{1 - e}
Şimdi bu ifadeyi minus işaretleriyle sadeleştirelim:
Pay ve paydayı negatif alalım:
x = \frac{-(3e - 2)}{-(e - 1)} = \frac{3e - 2}{e - 1}
Burada:
- e - 1 = 2.718 - 1 = 1.718 > 0
- 3e - 2 = 3 \times 2.718 - 2 = 8.154 - 2 = 6.154 > 0
Yani:
x = \frac{6.154}{1.718} \approx 3.58
Yani, hala x \approx 3.58 hesaplanıyor.
Ancak bu x, logaritma tanım kümesinin dışındadır.
Logaritma tanımlı olması koşullarını tekrar kontrol Edelim
- \ln(2 - x) tanımlı için 2 - x > 0 \Rightarrow x < 2
- \ln(3 - x) tanımlı için 3 - x > 0 \Rightarrow x < 3
Buna göre x < 2 olmalı.
Bu nedenle, bulduğumuz x değeri tanım kümesinde değil.
Başka çözümler var mı?
Logaritmaya giren ifadelerin pozitif olması gerekir.
Yukarıdaki çözüm dışındaki x değerleri mantıklı değil.
Önemli Not:
Soruda doğal logaritma var ve sağ tarafı 1 olarak verilmiş.
Ancak doğal logaritmanın tanım koşulunu sağlamayan çözümler çıkmaktadır.
Bu tip problemlerde, denklemin tanım kümesinde geçerli çözümler aranır.
5. Özet Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Başlangıç koşulları | x < 2, x < 3 | x < 2 |
| 2. Logaritma farkını bölme yap | \ln\frac{2 - x}{3 - x} = 1 | |
| 3. Üstel fonksiyona dönüştür | \frac{2 - x}{3 - x} = e | |
| 4. Denklemin çözümü | x = \frac{2 - 3e}{1 - e} | Yaklaşık x = 3.58 |
| 5. Tanım kümesi kontrolü | x=3.58 tanım kümesine uymuyor (x < 2 olmalı) | Çözüm geçersiz |
Sonuç
- Elde edilen çözüm x \approx 3.58 tanım kümesi dışındadır ve problemde geçerli değildir.
- Bu durumda, denklemi sağlayan gerçek ve tanımlı bir x değeri yoktur.
- Matematiksel olarak verilen eşitlik tanımlı x için sağlanmaz.
Eğer bu denklemin başka bir bağlamda, farklı tanım veya koşullarla çözülmesini isterseniz, veya işlemle ilgili detaylı başka örnek isterseniz, yardımcı olabilirim.