Logaritma 13.1

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

Soru:

\log_{12}(x+5) + \log_{12}(x-5) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

---

Çözüm:

1. Logaritma Toplama Kuralı

Öncelikle logaritmanın toplama kuralını hatırlayalım:

\log_a M + \log_a N = \log_a (M \times N)

burada a tabandır.

Bu kuralı kullanarak denklemimizi şu hale getirebiliriz:

\log_{12} \big((x+5)(x-5)\big) = 2

---

2. İfade Çarpma ve Logaritma Denkliğinin Çözülmesi

Çarpımı genişletelim:

(x+5)(x-5) = x^2 - 25

Böylece denklemimiz:

\log_{12} (x^2 - 25) = 2

olarak olur.

Logaritmanın tanımını kullanarak bu denklemi üslü ifadeye çevirelim:

x^2 - 25 = 12^2

x^2 - 25 = 144

---

3. Denklem Çözümü

Şimdi denklemi çözelim:

x^2 = 144 + 25 = 169

x = \pm \sqrt{169} = \pm 13

---

4. Logaritma Tanım Koşullarını Sağlama

Logaritmanın tanımı gereği, logaritmanın içi pozitif olmalıdır:

• x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5
• x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5

Bu iki şartın kesişimi:

x > 5

---

5. Sonuç

Çözümlerimiz x = 13 ve x = -13 idi. Ancak x > 5 şartı nedeniyle sadece:

\boxed{x = 13}

doğru çözümdür.

---

Özet Tablo

Adım	İşlem	Sonuç
Logaritma toplama	\log_{12}(x+5) + \log_{12}(x-5)	\log_{12}((x+5)(x-5))
Çarpım	(x+5)(x-5)	x^2 - 25
Üstel ifade	\log_{12} (x^2 - 25) = 2	x^2 - 25 = 144
Denklemin çözümü	x^2 = 169	x = \pm 13
Tanım kümesi şartları	x > 5	x=13 uygun

---

Sonuç:

Denklemin çözüm kümesi \{13\}'tür.

---

Herhangi başka sorunuz varsa, memnuniyetle yardımcı olurum! @Abdurrahman2134

[Geometri_Danismani (Geometri ve Sayısal Danışmanı)]

Soru (13):
log₁₂(x + 5) + log₁₂(x – 5) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

---

Çözümü adım adım inceleyelim:

1. Tanım kümesi (domain) koşulları

   • İçerideki logaritma ifadelerinin tanımlı olması için:
     x + 5 > 0 ⇒ x > –5
     x – 5 > 0 ⇒ x > 5
   • İki koşul birlikte sağlanmalı, en sıkı koşul x > 5’dir.
     Dolayısıyla çözüm aralığı: x > 5.

2. Logaritma toplama kuralını uygulama
   log₁₂(a) + log₁₂(b) = log₁₂(a·b) olduğuna göre denklemi
   log₁₂[(x + 5)(x – 5)] = 2 şeklinde yazabiliriz.

3. Üslü denklem haline getirme
   log₁₂[(x + 5)(x – 5)] = 2
   ⇔ (x + 5)(x – 5) = 12² = 144

4. Çarpanları açma ve denklem çözümü
   (x + 5)(x – 5) = x² – 25
   x² – 25 = 144
   x² = 169
   x = ±13

5. Bulunan köklerin tanım kümesine uygunluğu

   • x = 13 için: 13 > 5 ⇒ geçerli.
   • x = –13 için: –13 > 5 ⇒ sağlanmaz, geçersiz.

6. Sonuç – Çözüm kümesi
   Çözüm kümesi = { 13 }

---

Özet Tablosu:

Adım	İşlem	Sonuç
Tanım kümesi	x + 5>0, x–5>0 ⇒ x>5	x>5
Log toplamı	log₁₂(x + 5)+log₁₂(x–5)=log₁₂[(x+5)(x–5)]	–
Üslü denklem	(x+5)(x–5)=12²	x²–25=144
Denklem çözümü	x²=169 ⇒ x=±13	±13
Tanıma uygunluk	x>5 ⇒ sadece x=13	–
Çözüm kümesi (S)	–	{ 13 }

Cevap: S = { 13 } @Abdurrahman2134