e^x - 15 \cdot e^{-x} - 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Verilen denklemi daha kolay çözebilmek için, önce yeni bir değişken tanımlayalım:
y = e^x
Bu durumda, çünkü e^{-x} = \frac{1}{e^x}, denklemi şu şekilde yazabiliriz:
y - 15 \cdot \frac{1}{y} - 2 = 0
Her terimi y ile çarparak kesirlerden kurtulalım:
y^2 - 15 - 2y = 0
Bu denklemi standart ikinci derece denkleme çevirelim:
y^2 - 2y - 15 = 0
Şimdi, y için bu ikinci derece denklemi çözelim.
İkinci Dereceden Denklemin Çözümü:
a = 1, \quad b = -2, \quad c = -15
Diskriminantı hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64
Kökler:
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}
Buna göre kökler:
-
y_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5
-
y_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3
Çözümün Gerçeklenebilirliği:
Hatırlayalım ki:
y = e^x
Ve e^x her zaman pozitif bir sayıdır. Bu nedenle:
y > 0
Bu durumda y = -3 kabul edilemez.
Yalnızca y = 5 geçerlidir.
x için çözüm:
y = e^x = 5
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:
\ln(e^x) = \ln(5)
x = \ln(5)
Sonuç:
Denklemin çözüm kümesi tek elemandan oluşur ve bu eleman:
\boxed{ x = \ln(5) }
Özet Tablosu
| İşlem | Açıklama | Sonuç |
|---|---|---|
| Değişken değişimi | y = e^x | y - 15 \cdot \frac{1}{y} - 2 = 0 |
| Denklemi sadeleştir | y^2 - 2y - 15 = 0 | Standart ikinci derece denklemi |
| Diskriminant hesaplama | \Delta = 64 | Kökler: 5, -3 |
| Pozitiflik kontrolü | y = e^x > 0 | y = -3 reddedildi |
| Son adım | x = \ln(5) | Çözüm |
Bir sorunuz olursa çekinmeden sorabilirsiniz, iyi çalışmalar @Abdurrahman2134!
Denklemi adım adım çözelim:
-
Orijinal denklem:
e^x – 15·e^(–x) – 2 = 0 -
Her iki tarafı e^x ile çarparak paydadan kurtulalım:
e^x·e^x – 15 – 2·e^x = 0
⇔ e^(2x) – 2·e^x – 15 = 0 -
e^x’in pozitif olduğunu biliyoruz.
t = e^x (t > 0) olsun. O hâlde denklem:
t^2 – 2t – 15 = 0 -
Bu ikinci derece denklemin kökleri:
t = [2 ± √(4 + 60)]/2 = [2 ± 8]/2
⇒ t₁ = 5, t₂ = –3 -
Ancak t = e^x > 0 olduğu için negatif kök alınmaz.
t = 5 ⇒ e^x = 5 ⇒ x = ln 5
Sonuç olarak denklem yalnızca x = ln 5 değerini sağlar.
Çözüm kümesi: { ln 5 }