Logaritma 10.1

LİSE 12.Sınıf Matematik
1

10.PNG
10.PNG1033×459 14.7 KB

2

Logaritma 10.1 sorusu:

Soru:
\log 2 = a olduğuna göre, \log_{50} 32 ifadesinin a cinsinden eşitini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Verilenleri yazalım:

  • \log 2 = a
    Burada genellikle logaritmanın tabanı belirtilmemişse, logaritmanın tabanı 10 kabul edilir (log tab10).

  • Bulmamız gereken: \log_{50} 32 ifadesini a cinsinden yazmak.

Adım 2: \log_{50} 32 ifadesini taban 10 logaritma cinsinden yazalım:

Logaritma taban değiştirme kuralı:

\log_b x = \frac{\log_c x}{\log_c b}

Burada c=10 alınırsa;

\log_{50} 32 = \frac{\log 32}{\log 50}

Adım 3: Sayıları taban 2’nin kuvvetleri cinsinden yazalım:

  • 32 = 2^5
  • 50 = 2 \times 25 = 2 \times 5^2

Adım 4: Logaritmaların kuvvet özelliklerini kullanarak sadeleştirelim:

Öncelikle:

\log 32 = \log (2^5) = 5 \log 2 = 5a

Ayrıca:

\log 50 = \log (2 \cdot 5^2) = \log 2 + \log 5^2 = \log 2 + 2 \log 5 = a + 2 \log 5

Adım 5: \log 5 değerini bulalım:

Biliyoruz ki:
\log 10 = 1 ve 10 = 2 \times 5

Buna göre:

\log 10 = \log (2 \times 5) = \log 2 + \log 5 \implies 1 = a + \log 5 \implies \log 5 = 1 - a

Adım 6: \log 50 ifadesini yerine yazalım:

\log 50 = a + 2 (1 - a) = a + 2 - 2a = 2 - a

Adım 7: Son haliyle ifadeyi yazalım:

\log_{50} 32 = \frac{\log 32}{\log 50} = \frac{5a}{2 - a}

Sonuç:

\boxed{ \log_{50} 32 = \frac{5a}{2 - a} }

Özet Tablosu

İfade Açıklama Değer
\log 2 Verilen a
\log 32 2^5 kuvveti olarak yazıldı 5a
\log 50 2 \times 5^2 çarpımı a + 2 \log 5
\log 5 \log 10 - \log 2 = 1 - a 1 - a
\log 50 sade hali yerine koyma ve sadeleştirme 2 - a
\log_{50} 32 Taban değiştirme kuralı \frac{5a}{2 - a}

Herhangi bir sorunuz olursa sormaktan çekinmeyin @Abdurrahman2134

3

log 2 = a olduğuna göre, log₅₀ 32 ifadesinin a cinsinden eşitini bulunuz.

Table of Contents

  1. Giriş
  2. Temel Kavramlar
  3. Problemin Analizi
  4. Adım Adım Çözüm
  5. Sonuç ve Özet Tablosu
  6. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)
  7. Kaynaklar

1. Giriş

Logaritma konusu, sayısal ifadeleri daha yalın hâle getirip üslü ifadeler arasında geçiş yapmayı sağlar. 12. sınıf matematik müfredatında “Üslü ve Logaritmik İfadeler” başlığının önemli bir parçasıdır. Bu soruda, elimizde yalnızca \log 2 = a bilgisi var ve \log_{50} 32 ifadesini a cinsinden bulmamız isteniyor.

2. Temel Kavramlar

• Logaritma Tanımı:
Eğer b>0,\;b\neq1 ve x>0 ise

\log_{b}x=y \quad\Longleftrightarrow\quad b^{y}=x.

• Taban Değiştirme (Change of Base) Formülü:
Başka tabanlı logaritmayı ortak tabana çevirmek için

\log_{b}x = \frac{\log_{k}x}{\log_{k}b},

burada genellikle k=10 (ortak logaritma) veya k=e (doğal logaritma) seçilir.

• Üs Alma Özellikleri:

\log (x^{n}) = n\,\log x.

3. Problemin Analizi

Elimizde:

  • \log 2 = a
  • Bulmamız gereken: \log_{50} 32 ifadesi

Çözüm yolu:

  1. 32 ve 50 sayılarını 2 ve 5’in üsleri cinsinden yazıp logaritmasını alarak a cinsinden ifade etmek.
  2. Taban değiştirme formülü ile $ \log_{50}32$’yi ortak logaritmaya dökmek:
    \log_{50}32 = \frac{\log 32}{\log 50}.

4. Adım Adım Çözüm

  1. \log 32 ifadesi

    32 = 2^{5} \quad\Longrightarrow\quad \log 32 = \log(2^{5}) = 5\,\log 2 = 5a.

  2. \log 50 ifadesi

    50 = 2 \cdot 5^{2} \quad\Longrightarrow\quad \log 50 = \log 2 + 2\,\log 5.

    Burada $\log 5$’i a cinsinden yazmak için:

    5 = \frac{10}{2} \quad\Longrightarrow\quad \log 5 = \log\frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - a.

    Böylece

    \log 50 = a + 2\,(1 - a) = a + 2 - 2a = 2 - a.

  3. Taban Değiştirerek Sonuç

    \log_{50}32 = \frac{\log 32}{\log 50} = \frac{5a}{2 - a}.

5. Sonuç ve Özet Tablosu

Elde edilen sonuç:

\boxed{\log_{50}32 \;=\;\frac{5a}{2 - a}}.
Adım İfade a cinsinden değer
\log 2 \log 2 a
\log 32 \log(2^5) 5a
\log 50 \log(2\cdot5^2) 2 - a
\log_{50}32 \dfrac{\log 32}{\log 50} \dfrac{5a}{2 - a}

6. Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

  1. Neden \log 5 = 1 - a?
    Çünkü \log 5 = \log(10/2) = \log10 - \log2 = 1 - a.

  2. Logaritma taban değiştirme formülünü neden kullandık?
    Bir tabanlı logaritmayı başka bir tabana çevirmek, özellikle verilen bilgi (\log2=a) ile doğrudan ilişki kurmayı sağlar.

  3. Sonuçta 2 - a ifadesi sıfır olabilir mi?
    Hayır, çünkü a = \log2 \approx 0{,}3010, dolayısıyla 2 - a > 1{,}6 ve sıfıra yaklaşmaz.

7. Kaynaklar

  1. MEB. (2021). LGS ve TYT Matematik Konu Anlatımlı Kitap.
  2. Stewart, J. (2016). Calculus: Concepts and Contexts.
  3. Khan Academy. “Logarithms and Their Properties”.

@Abdurrahman2134