Log₂x^(log₂x) = 8·logₓ2 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image634×365 21.5 KB

2

Log Denklemi Kökler Toplamı Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Logaritma tabanı dönüşümü yaparak ifadeleri sadeleştirmek gerekir.
  • Denklemde logaritma özellikleri doğru uygulanmalıdır.
  • Kökler toplaması sorulduğunda, denklemi uygun forma getirip kökleri bulup toplamları hesaplanır.

Verilen denklemi yazalım:
[
\log_2 x^{\log_2 x} = 8 \cdot \log_x 2
]

Çözüm Adımları

  1. Logaritmanın kuvvet özelliğine göre:
    [
    \log_2 x^{\log_2 x} = (\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = (\log_2 x)^2
    ]

  2. Sağ taraftaki ifadeyi tabanı değiştirelim.
    Hatırlayalım:
    [
    \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}
    ]

Bu durumda denklem:
[
(\log_2 x)^2 = 8 \cdot \frac{1}{\log_2 x}
]

  1. Denklemde (\log_2 x = t) diyelim (taban 2’ye göre logaritmayı (t) olarak alalım).
    Denklem:
    [
    t^2 = \frac{8}{t}
    ]

  2. Her iki tarafı (t) ile çarpalım (tabii (t \neq 0)):
    [
    t^3 = 8
    ]

  3. Buradan:
    [
    t = \sqrt[3]{8} = 2
    ]

  4. (t = \log_2 x = 2) ise:
    [
    x = 2^2 = 4
    ]

  5. (t=0) durumunu da kontrol edelim (çarpma sırasında 0 olamaz demiştik):
    Eğer (t=0) olursa,
    [
    (\log_2 x)^2 = 0 \implies \log_2 x = 0 \implies x=1
    ]
    Ama (x=1) ise (\log_x 2 = \log_1 2) tanımsızdır çünkü logaritmanın tabanı 1 olamaz. Bu nedenle (t=0) kabul edilmez.

  6. Başka kök var mı, diye denkleme yeniden bakalım.
    Başlangıçta (t^3=8) denklemi sadece bir gerçek kök verir: (t=2).

Sonuç: Denklemin tek kökü (x=4).

Kökler Toplamı

  • Burada denklemde tek kök var: (4).
  • Kökler toplamı da 4’tür.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Logaritmanın kuvvet özelliği (\log_2 x^{\log_2 x} = (\log_2 x)^2) -
Taban değiştirme (\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}) -
Değişken ataması (t = \log_2 x) -
Denklem dönüşümü (t^3 = 8) -
Kök bulma (t=2 \Rightarrow x=4) -
Kökler toplamı Tek kök olduğundan 4 4

Sık Sorulan Sorular

1. Logaritmadaki taban değişimi neden yapıldı?
Tabanlar farklı olduğunda, ifadeyi kolay çözmek için taban değiştirme formülü kullanılır:
(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}).

2. Denklemde logaritmanın tanımsallığına dikkat etmeli miyiz?
Evet, tabanın pozitif ve 1’den farklı olması gerekir. Ayrıca logaritmanın içi de pozitif olmalı.

3. Neden (t=0) çözümü reddedildi?
Çünkü bu logaritmanın tabanının 1 olmasına sebep olur ki, logaritma tanımsızdır.

Sonraki Adımlar

Benzer karmaşık logaritma denklemlerini çözmek için alıştırmalar ister misiniz? Yoksa logaritmanın farklı özelliklerinin uygulamalarını görmeyi tercih eder misiniz?

@Abdurrahman2134

3

log₂x^(log₂x) = 8·logₓ2 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

  1. Temel Çıkarımlar
  2. Derinlemesine İnceleme
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. Sıkça Sorulan Sorular

Temel Çıkarımlar

  • Denklemin sol tarafı
    \log_2\bigl(x^{\log_2 x}\bigr) = (\log_2 x)\,\log_2 x = (\log_2 x)^2
  • Sağ tarafta
    \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}
  • Değişken dönüşümü
    t = \log_2 x
    ile denklem
    t^2 = \frac{8}{t}
    haline gelir.

Denklemin gerçek kökü x=4 olduğundan kökler toplamı 4’tür.

Derinlemesine İnceleme

  1. Logaritmanın kuvvet özelliği
    \log_2\bigl(x^{\log_2 x}\bigr) = (\log_2 x)\,\log_2 x = (\log_2 x)^2.
  2. Taban değiştirme formülü
    \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}.
  3. İndirgeme:
    t = \log_2 x \quad\Longrightarrow\quad (\log_2 x)^2 = \frac{8}{\log_2 x} \;\Rightarrow\; t^3 = 8.
  4. Gerçek çözüm:
    t^3 = 8 \;\Longrightarrow\; t = 2 \quad\Longrightarrow\quad \log_2 x = 2 \;\Longrightarrow\; x = 2^2 = 4.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik \log_2 x \log_x 2
Tanım En yaygın logaritma Taban ve sayı yer değiştirdiğinde ortaya çıkar
Tabankeşitlik — \log_x 2 = \tfrac{1}{\log_2 x}
Kuvvet etkisi \log_2(x^a)=a\,\log_2x \log_{x^a}2=\tfrac{1}{a}\,\log_x2

Özet Tablosu

Adım Dönüşüm Sonuç
1. Tanım t=\log_2 x –
2. Sol taraf (\log_2x)^2 t^2
3. Sağ taraf 8\cdot\frac{1}{\log_2x} \frac{8}{t}
4. İndirgeyip çözüm t^2=\frac{8}{t}\;\Rightarrow\;t^3=8 t=2
5. x değerini bulma \log_2 x=2\;\Rightarrow\;x=4 x=4

Sıkça Sorulan Sorular

  1. Denklemin başka gerçek çözümleri var mı?
    – t^3=8 denkleminin tek gerçek kökü t=2 olduğu için x=4 ana çözüm.

  2. Logaritmada taban değiştirme nasıl yapılır?
    – \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} formülüyle her taban c cinsinden yazılabilir.

  3. Denklemin tanım kümesi nedir?
    – x>0,\;x\neq1 çünkü logaritmanın tanımı için taban ve argüman pozitif, taban 1 olamaz.

  4. Tamsayı dışı çözümler nasıl incelenir?
    – Kompleks logaritma tanımları ve çok-değerli yapı gerekir, TYT kapsamı dışındadır.

Başka logaritma denklemleri çözmek için pratik sorular ister misiniz?
@Abdurrahman2134