Log₁/₅(15+3x) ≤ log₍√₅₎(⅓) eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı kaçtır?

YKS TYT
1

image
image602×325 18.6 KB

2

Logaritmik Eşitsizliği Sağlayan En Küçük İki Tam Sayının Toplamı Nedir?

Önemli Noktalar

  • Logaritma tabanının 1/5 olması nedeniyle, fonksiyon azalandır, eşitsizlik yönü değişebilir.
  • Üstteki logaritmanın tabanı ( \frac{1}{5} ), diğer logaritmanın tabanı ( \sqrt{5} ); bunların ilişkisinden eşitsizliğin çözümünde taban dönüşümü yapılabilir.
  • Sonuçta bulunan x için logaritmik tanımlı kısımlara dikkat edilmeli ve en küçük iki tam sayı bulunup toplanmalıdır.

Çözüm

Eşitsizlik şu şekildedir:

[
\log_{\frac{1}{5}}(15 + 3x) \leq \log_{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{3}\right)
]

  1. Tabanların özelliklerine bakalım:
  • ( \frac{1}{5} = 5^{-1} ), yani taban 1’den küçük ve pozitif → log fonksiyonu azalan.
  • ( \sqrt{5} = 5^{1/2} ), taban 1’den büyük → log fonksiyonu artan.
  1. Logaritma tabanını aynı tabana çevirelim:

[
\log_{\frac{1}{5}}(15 + 3x) = \log_{5^{-1}} (15 + 3x) = \frac{\log_5 (15 + 3x)}{-1} = - \log_5 (15 + 3x)
]

[
\log_{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{3}\right) = \log_{5^{1/2}} \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\log_5 \left(\frac{1}{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2 \log_5 \left(\frac{1}{3}\right)
]

  1. Eşitsizliği yazalım:

[
-\log_5(15 + 3x) \leq 2 \log_5 \left(\frac{1}{3}\right)
]

Çarpan negatif olduğu için, eşitsizliği iki tarafı -1 ile çarparak yön değiştirelim:

[
\log_5(15 + 3x) \geq -2 \log_5 \left(\frac{1}{3}\right)
]

  1. Sağ tarafı sadeleştirelim:

[
-2 \log_5 \left(\frac{1}{3}\right) = \log_5 \left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right) = \log_5 (3^2) = \log_5 9
]

  1. Son durumda:

[
\log_5 (15 + 3x) \geq \log_5 9
]

Taban 5 (>1) olduğundan eşitsizlik doğrudan içler dışlar:

[
15 + 3x \geq 9
]

[
3x \geq -6
]

[
x \geq -2
]

  1. Logaritmanın tanımlı olması için:

[
15 + 3x > 0 \implies 3x > -15 \implies x > -5
]

Bu zaten (x \geq -2) eşitsizliğine dahildir.

  1. En küçük iki tam sayıyı bulalım:

[
x \geq -2 \quad \Rightarrow \quad \text{En küçük tam sayılar } -2, -1
]

Toplamları:

[
-2 + (-1) = -3
]

Sonuç:

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı (-3)'tür.

İçindekiler

  1. Eşitsizliğin Tabana Göre Düzenlenmesi
  2. Sonuç ve Tam Sayıların Belirlenmesi
  3. Özet Tablo
  4. Sık Sorulan Sorular

Eşitsizliğin Tabana Göre Düzenlenmesi

Logaritmanın tabanı ( \frac{1}{5} ) olduğunda fonksiyon azalan, diğer tarafta taban ( \sqrt{5} ) artan olduğu için taban değişimine gidildi ve eşitsizlik yönü uygun şekilde değiştirildi. Logaritma kuralları kullanılarak eşitsizlik sadeleştirildi.

:warning: Uyarı: Logaritmada tabanı 1’den küçük olunca eşitsizlik yönü değişir; unutulmamalıdır.

Sonuç ve Tam Sayıların Belirlenmesi

Çözüm ( x \geq -2 ) oldu. (x) için en küçük iki tam sayı -2 ve -1 olarak alındı.

  • Toplam: (-2 + (-1) = -3)

Özet Tablo

Adım Sonuç
Logaritmanın tabanı ( \frac{1}{5} ) azalan, ( \sqrt{5} ) artan
Eşitsizlik sadeleşmesi ( x \geq -2 )
Tanım kümesi kontrolü ( x > -5 ), zaten karşılandı
En küçük iki tam sayı -2 ve -1
Toplamları -3

Sık Sorulan Sorular

1. Neden eşitsizliğin yönü değişti?
Taban ( \frac{1}{5} ) 1’den küçük olduğu için, logaritma fonksiyonu azalan fonksiyondur. Bu durum eşitsizlik yönünü tersine çevirir.

2. Diğer taban ne anlama gelir?
( \sqrt{5} ) tabanı 1’den büyüktür; bu durumda logaritma arttıran fonksiyondur, yönde değişiklik olmaz.

3. Logaritmanın tanımlı olması için ne kontrol edilir?
Logaritmanın içinin pozitif olması gerekir; burada (15 + 3x > 0) şartı sağlanmalıdır.

Sonraki Adımlar

Eşitsizlik çözüm yöntemlerinde taban büyüklüğünün etkisini daha iyi anlamak ister misiniz? Ya da logaritma içi ifadelerin tanım kümesi hakkında daha detaylı örnekler görmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

log₁/₅(15+3x) ≤ log₍√₅₎(⅓) eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayının toplamı kaçtır?

Önemli Noktalar

  • log₁/₅(x) fonksiyonu azalan, log₍√₅₎(x) ise artanan.
  • Taban < 1 ise eşitsizlik yönü tersine döner.
  • (\tfrac15)^{-2\log_5 3}=9 sonucuyla x\ge -2 bulunur.

Cevap
Eşitsizlikten x\ge -2 elde edilir. En küçük iki tam sayı -2 ve $-1$’in toplamı -3’tür.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Tanım kümesi için
    15+3x>0 \;\Rightarrow\; x>-5
  2. Sağ tarafı hesapla
    \log_{\sqrt5}\frac13 =\frac{\ln\frac13}{\ln\sqrt5} =\frac{-\ln3}{\tfrac12\ln5} =-2\log_5 3
  3. Eşitsizliği yaz ve taban<1 olduğu için yönü ters çevir
    \log_{1/5}(15+3x)\le -2\log_5 3 \;\Rightarrow\; 15+3x\ge\bigl(\tfrac15\bigr)^{-2\log_5 3} =9
  4. Çözüme ulaş
    3x\ge -6\;\Rightarrow\;x\ge -2
  5. En küçük tam sayılar -2,-1; toplam -3.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik log₍√₅₎(x) (taban > 1) log₁/₅(x) (taban < 1)
Taban değeri √5 > 1 1/5 < 1
Monotonluk Artan Azalan

Özet Tablosu

Adım Açıklama Sonuç
Tanım kümesi 15+3x>0 x>-5
RHS hesaplama \log_{\sqrt5}\tfrac13 -2\log_5 3
Eşitsizlik çözümü Azalan log ile \ge x\ge -2
En küçük tam sayılar x\ge -2 -2,\,-1
Toplam -3

SSS

Q1: Taban değeri 1’den küçük log fonksiyonu nasıl davranır?
A1: Azalan, yani x_1>x_2\Rightarrow\log_{1/5}x_1<\log_{1/5}x_2.

Q2: (\tfrac15)^{-2\log_5 3} neden 9 olur?
A2: (\tfrac15)^{\log_5 3}=5^{-\log_5 3}=1/3\Rightarrow bu ifadenin (-2). kuvveti =9.

Q3: Neden x>-5 şartı var?
A3: Logaritmanın tanımı için içi pozitif olmalı.

Q4: Başka bir tabanla benzer eşitsizlik nasıl çözülür?
A4: Taban kontrolü (1’den büyük/küçük) ve eşitsizliği aynı yöntemle sağlar.

Başka log fonksiyonlu eşitsizlik örnekleri çözmek ister misin? @Abdurrahman2134