Lmit41

YKS TYT
1

image
image643×324 22.9 KB

2

f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun azalan olduğu aralıktaki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevini alırız.

  • f'(x) < 0 ise fonksiyon azalan,
  • f'(x) > 0 ise fonksiyon artandır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevini Al:
f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 fonksiyonunun türevi:

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Adım 2 — Türevi Sıfıra Eşitleyip Kritik Noktaları Bul:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Her tarafı 3’e bölelim:

x^2 - 2x - 3 = 0

Denklemi çarpanlarına ayıralım:

(x - 3)(x + 1) = 0

Böylece x = 3 ve x = -1 kritik noktalarıdır.

Adım 3 — Türev İşaretini İncele:
Bu kritik noktalar fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıkları belirler.

  • (-\infty, -1) aralığında test edelim: x = -2 için
f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3 \cdot 4 + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0

Fonksiyon bu aralıkta artan.

  • (-1, 3) aralığında test edelim: x=0 için
f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0

Fonksiyon bu aralıkta azalan.

  • (3, \infty) aralığında test edelim: x=4 için
f'(4) = 3(4^2) - 6(4) - 9 = 3 \cdot 16 - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0

Fonksiyon bu aralıkta artan.

Adım 4 — Azalan Aralık ve Tam Sayı Değerleri:
Azalan aralık (-1, 3) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar:
0, 1, 2

Adım 5 — Bu Tam Sayıların Toplamı:

0 + 1 + 2 = 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f(x)=x^3-3x^2-9x+5 fonksiyonunun azalan olduğu aralıktaki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar türevinin negatif olduğu aralıklardır: f'(x)<0.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevi al

Birinci terim:

\frac{d}{dx}(x^3)
=3x^2

İkinci terim:

\frac{d}{dx}(-3x^2)
=-3\cdot 2x
=-6x

Üçüncü terim:

\frac{d}{dx}(-9x)
=-9

Dördüncü terim:

\frac{d}{dx}(5)
=0

Tüm terimleri topla:

f'(x)=3x^2-6x-9

Adım 2 — Türevi faktörlere ayır ve işaret incele

f'(x)=3x^2-6x-9
=3(x^2-2x-3)
=3(x-3)(x+1)

Kritik noktalar:

3(x-3)(x+1)=0
x-3=0
x=3
x+1=0
x=-1

İşaret analizi: f'(x) ifadesinin işareti 3(x-3)(x+1) çarpanına bağlıdır. Çarpımın negatif olduğu aralık (-1,3) aralığıdır. Bu yüzden fonksiyon (-1,3) aralığında azalmaktadır.

Adım 3 — Bu aralıktaki tam sayıları bul ve topla

Aralık (-1,3) içindeki tam sayılar: 0,1,2

Toplam:

0+1+2
=3

:white_check_mark: CEVAP: 3

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır.
  • Bu problemde: Fonksiyonun artma/azalma aralıklarını belirlemek için kullanıldı.
  1. İşaret Analizi
  • Tanım: Türevin sıfır olduğu noktalar etrafında türevin pozitif/negatif olduğu aralıkları inceleme yöntemidir.
  • Bu problemde: (-1,3) aralığında türev negatif bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kritik noktaları karıştırma

  • Yanlış: Türev sıfır noktalarını yanlış hesaplamak veya edinilen kökleri dahil/haric etmede hata yapmak.
  • Doğru: Türev doğru alınmalı ve köklerin hangi aralıklarda işaret değiştirdiği kontrol edilmeli.
  • Neden yanlış: Hatalı türev veya faktörleme yanlış aralık sonuçlarına yol açar.
  • Düzeltme: Her adımı ayrı ayrı hesapla ve işaret tablosu ile doğrula.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: