Limmit5

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image617×483 63.6 KB

2

a ve b gerçek sayıları için f ve g fonksiyonlarının sürekliliğine göre a • b çarpımı nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Fonksiyonun sürekliliği için, parça fonksiyonda sınırdaki değerlerin birbiri ile eşit olması gerekir.
  • Yani, \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
  • Aynı şekilde g için, \lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f Fonksiyonunun Sürekliliği

  • ( f(x) = \begin{cases}
    2x + 2, & x \leq a \
    x - 1, & x > a
    \end{cases} )
  • Süreklilik için sınırda değerler eşit olmalı:
\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)
2a + 2 = a - 1
2a + 2 = a - 1 \implies 2a - a = -1 -2 \implies a = -3

Adım 2 — g Fonksiyonunun Sürekliliği

  • ( g(x) = \begin{cases}
    a x^2 + 1, & x \leq 1 \
    3x + b, & x > 1
    \end{cases} )
  • Süreklilik için sınırda değerler eşit olmalı:
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x)
a(1)^2 + 1 = 3(1) + b \implies a + 1 = 3 + b
a + 1 = 3 + b \implies b = a + 1 - 3 \implies b = a - 2
  • Daha önce bulduğumuz a = -3 ise:
b = -3 - 2 = -5

Adım 3 — a • b Çarpımı

a \cdot b = (-3) \cdot (-5) = 15

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f ve g sürekli olduğuna göre a · b çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Süreklilik için parçalı tanımlı fonksiyonlarda sınırların eşit olması gerekir (sol limit = sağ limit) — özellikle kritik noktalarda fonksiyon değerleri parçaların sınır değerleriyle uyumlu olmalıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f fonksiyonunun sürekliliği (x = a noktasında)
f(x) şu şekilde:

f(x)=\begin{cases} 2x+2,& x\le a\\[4pt] x-1,& x>a \end{cases}

Sol taraf: f(a) (x ≤ a) = 2a+2

Sağ taraf: f(a) (x > a) = a-1

Süreklilik koşulu: sol taraf = sağ taraf

2a + 2 = a - 1
2a - a = -1 - 2
a = -3

Adım 2 — g fonksiyonunun sürekliliği (x = 1 noktasında)
g(x) şu şekilde:

g(x)=\begin{cases} ax^2+1,& x\le 1\\[4pt] 3x+b,& x>1 \end{cases}

Sol taraf: g(1) (x ≤ 1) = a\cdot 1^2 + 1 = a + 1

Sağ taraf: g(1) (x > 1) = 3\cdot 1 + b = 3 + b

Süreklilik koşulu: sol taraf = sağ taraf

a + 1 = 3 + b
a + 1 - 3 = b
b = a - 2

a = -3 olduğuna göre:

b = -3 - 2
b = -5

Adım 3 — a · b çarpımı

a \cdot b = (-3)\cdot(-5)
a \cdot b = 15

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Süreklilik
  • Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sol ve sağ limitlerinin birbirine ve fonksiyon değerine eşit olmasıdır.
  • Bu problemde: Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktasında (x = a veya x = 1) sağ ve sol ifadelerin eşitlenmesiyle a ve b bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: a’yı yanlış hesaplama

  • Yanlış: 2a+2 = a-1 den a = 3 gibi sonuç çıkarmak.
  • Doğru: Denklemi doğru izole edip a = -3 bulunur.
  • Neden yanlış: Terimleri yanlış taşımak veya işaret hatası yapmak.
  • Düzeltme: Her terimi dikkatle aynı tarafta toplayıp çıkarın.

:white_check_mark: CEVAP: 15

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: