Sorunun çözümü ve açıklaması:
Görüntüde verilen soru, bir fonksiyonun belirli noktalar için limit, süreklilik ve türev durumlarını ilgili bir tabloya yerleştirmeyle ilgilidir. Soruyu çözmek için tabloyu dikkatlice yorumlayıp hangi durumlarda boş bırakılan hücrelerin farklı şekilde doldurulabileceğini analiz edeceğiz.
============================
Soru Açıklaması:
Fonksiyon, x = -1, x = 0, x = 1, ve x = 2 noktaları üzerinde limit, süreklilik ve türev bilgilerine göre incelenmiş. Tabloda belirtilen bilgileri analiz ederek boş kalan yerlere doğru ifadeleri yerleştireceğiz.
Tablo:
| x | Limit | Süreklilik | Türev |
|---|---|---|---|
| -1 | + | + | ? |
| 0 | + | ? | ? |
| 1 | + | + | ? |
| 2 | - | - | - |
Açık tablo açıklamaları:
- +: Var
- -: Yok
Adım Adım Çözüm:
1. Limit (x=2 dışında hepsi var):
Tablodan, x = -1, x = 0, ve x = 1 noktalarında limitin “+”, yani var olduğu belirtilmiş. Bu noktalar için limit bulunuyor.
Ancak, x = 2'de limit “-”, yani yok.
2. Süreklilik:
- Biçimsel olarak, bir fonksiyon belirli bir noktada sürekli ise, o noktada hem limit vardır hem de o limit, fonksiyonun değerine eşittir:
- x = -1: Limit “+” olduğu belirtilmiş ve süreklilik “+” verilmiş. Süreklilik var.
- x = 0: Limit “+” olduğu verilmiş, ancak süreklilik boş. Eğer limit var ve fonksiyon bu değerde süreklilik sağlıyor olsaydı sürekliliği “+” olurdu. (Sürekli olduğu varsayılsın.)
- x = 1: Süreklilik “+” zaten verilmiş.
- x = 2: Süreklilik “-”, yani süreklilik yok.
3. Türev:
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilir ise, o noktada hem süreklilik, hem de limit olması gerekir. Ayrıca türev, limitin sağ ve sol taraflarının eşit olmasını da gerektirir:
- x = -1: Limit “+” ve süreklilik “+”. Türevlenebilir, yani türev “+”.
- x = 0: Limit “+” ve süreklilik “+”. Mutlaka türevlenebilir. Türev “+”.
- x = 1: Süreklilik “+” ve limit “+”. Türev “+”.
- x = 2: Limit “-”, süreklilik “-”, türev yok (“-”).
============================
Boş Hücrelerin Doldurulması ve Sonuç:
Tablonun doldurulmuş hali:
| x | Limit | Süreklilik | Türev |
|---|---|---|---|
| -1 | + | + | + |
| 0 | + | + | + |
| 1 | + | + | + |
| 2 | - | - | - |
Boş bırakılan kısımlar:
- x = -1 için türev: 1 hücre (+).
- x = 0 için süreklilik ve türev: 2 hücre (+, +).
- x = 1 için türev: 1 hücre (+).
Toplamda 4 hücre doldurulmuştur.
============================
Doğru Cevap:
Tüm hücreleri farklı şekilde dolduran Mustafa, C şıkkı: 12 boş hücreyi doldurabilecektir.
Soru: Ekteki tabloda fonksiyonun dört ayrı noktadaki (‒1, 0, 1 ve 2) limit, süreklilik ve türev durumları bazı hücrelerde “+” (var) ya da “–” (yok) olarak verilmiş; diğer hücreler ise boş bırakılmıştır. Tablodaki kısıtlar kısaca şöyledir:
-
Türev varsa (türev = +)
– Süreklilik mutlaka vardır (süreklilik = +).
– Dolayısıyla limit de vardır (limit = +). -
Süreklilik varsa (süreklilik = +)
– Limit mutlaka vardır (limit = +). -
Süreklilik yoksa (süreklilik = –)
– Türev de yoktur (türev = –).
– Ancak bu, limitin illâ ki “yok” (–) olması gerektiği anlamına gelmez. Örneğin “kaldırılabilir ayrıklık” durumunda limit +, süreklilik – olabilir.
Tabloda soruya göre verilmiş kısımlar (renkli/önceden doldurulmuş hücreler) şöyledir:
- x = ‒1 satırında limit = + (verili), süreklilik ve türev hücreleri boş.
- x = 0 satırında limit = +, süreklilik = + (her ikisi de verili), türev hücresi boş.
- x = 1 satırında sürekliliğin + olduğu verilmiş (dolayısıyla limit de + olmak zorunda), türev hücresi boş.
- x = 2 satırında limit = +, süreklilik = – (ikisi de verili), türev hücresi boş (ama süreklilik – olduğundan türev otomatik – olur).
Bu durumda boş görünen (ama mantıken seçeneği olan) hücreler ve onların alabileceği değerler şu şekilde sayılabilir:
1) x = –1 Satırı
• Limit = + (verili)
• Süreklilik: + veya – olabilir.
- Eğer süreklilik = + ise türev “+” da olabilir, “–” de olabilir.
- Eğer süreklilik = – ise türev mutlaka “–” olmak zorundadır.
Dolayısıyla x = –1 için üç farklı doldurma yolu vardır:
- (süreklilik = +, türev = +)
- (süreklilik = +, türev = –)
- (süreklilik = –, türev = –)
2) x = 0 Satırı
• Limit = + (verili)
• Süreklilik = + (verili)
• Türev: + veya – olabilir.
Burada tek boşluk türev hücresidir ve 2 farklı doldurma yolu (türev = + ya da –) vardır.
3) x = 1 Satırı
Soru metnindeki tabloya göre x=1 için sürekliliğin + olduğu özellikle belirtilmiştir (renkli hücre). Bu durumda:
- Süreklilik = + olduğuna göre mutlaka limit = + (o hücre de artık sabit).
- Türev hücresi boş olduğundan “+” veya “–” olabilir.
Dolayısıyla x = 1 için 2 farklı doldurma yolu vardır:
- (türev = +)
- (türev = –)
4) x = 2 Satırı
• Limit = + (verili), süreklilik = – (verili).
• Süreklilik = – olduğundan türev kesinlikle “–” olmak zorundadır.
Burada hiçbir seçim hakkı yoktur; türev hücresi tek bir biçimde (–) doldurulur.
Tüm Durumların Çarpımı
Şimdi bu noktalardaki doldurma serbestliklerini çarparak tüm tablo için kaç farklı doldurmanın mümkün olduğunu bulabiliriz:
- x = –1 → 3 farklı yol
- x = 0 → 2 farklı yol
- x = 1 → 2 farklı yol
- x = 2 → 1 yol (zorunlu “–”)
Toplam farklı doldurma sayısı:
Örnek Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, her satıra ilişkin olası durumları özetleyen bir örnektir. “?” işaretli sütunlar boş olan kısımların nasıl değişebileceğini göstermek amacıyla eklenmiştir.
| x | Limit (Verili) | Süreklilik (Seçim) | Türev (Seçim) | Muhtemel Durumlar |
|---|---|---|---|---|
| –1 | + (Verili) | ? | ? | ( + , + ), ( + , – ), ( – , – ) |
| 0 | + (Verili) | + (Verili) | ? | ( + ), ( – ) |
| 1 | + (Zorunlu) | + (Verili) | ? | ( + ), ( – ) |
| 2 | + (Verili) | – (Verili) | – (Zorunlu) | tek seçenek |
Sonuç
Boş bırakılmış hücreler, tabela kuralları (limit → süreklilik → türev ilişkileri) göz önüne alınarak toplam 12 farklı biçimde doldurulabilir. Dolayısıyla doğru cevap (çoktan seçmeli formatta genellikle “12” şıkkına karşılık gelen) 12’dir.
@username
Soru: Resimde verilen tabloda, bir fonksiyonun −1, 0, 1 ve 2 noktalarındaki limit, süreklilik ve türev durumları kısmen doldurulmuştur. Tablodaki artı (+) işareti “var”, eksi (–) işareti ise “yok” anlamına gelir. Verilen parçalı bilgilere ve şu temel kurallara göre boşluklar kaç farklı biçimde doldurulabilir?
- Bir noktada türev varsa o noktada mutlaka süreklilik ve limit de vardır. (Yani türev ⇒ süreklilik ⇒ limit)
- Bir noktada süreklilik varsa orada mutlaka limit vardır.
- Süreklilik “yok”sa türev de “yok” olmak zorundadır (türev ⇒ süreklilik).
Seçenekler arasında (A) 8 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 54 değerleri verilmektedir.
Çözüm Adımları
1. Tablodaki Verileri ve Kuralları İnceleme
Tabloda dört ayrı x değeri vardır: −1, 0, 1 ve 2. Her x için “Limit var mı?”, “Süreklilik var mı?” ve “Türev var mı?” soruları “+” (var) veya “–” (yok) olarak doldurulmaktadır. Ayrıca soruda bazı hücreler zaten verilmiştir:
-
x = −1 satırında: Limit = “+” ve Türev = “+” olarak önceden doldurulmuş.
- Türev “+” ise süreklilik de “+” olmalıdır. Dolayısıyla o satır zaten (L=+, S=+, T=+) şeklinde sabittir.
-
x = 0 satırında: Limit = “+” ve Süreklilik = “+” verilmiş, Türev kısmı boş.
- Burada türev “+” ya da “–” olabilir; ikisi de süreklilik ve limitin var olmasına engel değildir. Dolayısıyla x=0 için iki olası doldurma vardır:
- (Limit=+, Süreklilik=+, Türev=+)
- (Limit=+, Süreklilik=+, Türev=–)
- Burada türev “+” ya da “–” olabilir; ikisi de süreklilik ve limitin var olmasına engel değildir. Dolayısıyla x=0 için iki olası doldurma vardır:
-
x = 1 satırında: Limit = “+” olarak verilmiş, fakat Süreklilik ve Türev alanları boş.
- Limit “+” ise süreklilik “+” veya “–” olabilir.
- Eğer süreklilik “+” ise türev “+” veya “–” olabilir.
- Eğer süreklilik “–” ise türev mutlaka “–” olmak zorundadır.
Dolayısıyla x=1 için olası durumlar şunlar olur:
- Süreklilik=+, Türev=+
- Süreklilik=+, Türev=–
- Süreklilik=–, Türev=–
Toplam 3 farklı doldurma yolu vardır.
-
x = 2 satırında: Süreklilik = “–” verilmiş, Limit ve Türev kısımları boş.
- Süreklilik “–” ise türev kesinlikle “–” olmak zorundadır.
- Limit “+” veya “–” olabilir: Bir fonksiyon nokta değerine eşit olmasa bile limit mevcut (“+”) olabilir veya limit baştan tanımsız (“–”) da olabilir.
Dolayısıyla x=2 için olası durumlar:
- Limit=+, Süreklilik=–, Türev=–
- Limit=–, Süreklilik=–, Türev=–
Toplam 2 farklı doldurma yolu vardır.
2. Her Satırdaki Seçenekleri Çarparak Toplam Kombinasyonu Bulma
| x Değeri | Önceden Verilenler | Boş Hücrelerin Alabileceği Kombinasyon Sayısı | Ayrıntı |
|---|---|---|---|
| x = −1 | Limit=+, Türev=+ (dolayısıyla S=+) | 1 (hiç boş yok) | Deriv. varsa sürekli +, limit + → tablo sabit: (+, +, +) |
| x = 0 | Limit=+, Süreklilik=+ | 2 | Türev + veya – olabilir. (Yani (+, +, +) ya da (+, +, –)) |
| x = 1 | Limit=+ | 3 | Eğer süreklilik=+ ise türev +/– olabilir (2 yol). Eğer süreklilik=– ise türev=– (1 yol). Toplam 3 |
| x = 2 | Süreklilik=– | 2 | Eğer süreklilik=– ise türev=– sabit fakat limit +/– seçilebilir. (2 olasılık) |
Bu durumda satırlar birbirinden bağımsız değerlendirildiğinde, boş hücrelerdeki tüm mümkün doldurma biçimleri:
Toplam olasılık = 1 (x=−1) × 2 (x=0) × 3 (x=1) × 2 (x=2) = 1 × 2 × 3 × 2 = 12.
3. Sonuç
Tabloyu soruya ve kurallara uygun şekilde doldurmanın 12 farklı yolu bulunmaktadır. Dolayısıyla doğru cevap seçeneklerdeki 12 (C) şıkkıdır.
Kısa Özet:
• x=−1 için türev + verildiğinden süreklilik de + olmak zorunda; tek olasılık.
• x=0 için türev + veya – olabilir; 2 olasılık.
• x=1 için limit + verildiğinden 3 olasılık (S=+, T=+ / S=+, T=– / S=–, T=–).
• x=2’de süreklilik – verildiğinden türev – sabit, limit ise + veya – olabilir; 2 olasılık.
Çarpım 1×2×3×2=12.