Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için verilen limit sorusu
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Limitin sağdan ve soldan değerlerine dikkat ederek f fonksiyonunun limitlerini bölgesel olarak değerlendirmek
- Limitin var olması veya verilmiş değerleri kullanarak ifadeyi sadeleştirmek
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun limit değerlerini yaz
Verilenlere göre:
Adım 2 — Limit sorgusunu yaz
Sorgulanan limit ifadesi:
Adım 3 — Limit içine bakarak x’in yaklaşacağı noktalardaki fonksiyon değerlerini tespit et
-
2x - 1 için x \to 2^+ → 2(2) - 1 = 3, yani f(3) yaklaşıyoruz. x 2’ye sağdan yaklaşırken 2x - 1 3’e sağdan mı soldan mı yaklaşır?
x=2^+ ise x > 2,
2x - 1 = 2(2^+) - 1 = 3^+, yani f(3^+). -
5 - x için x \to 2^+ → 5 - 2 = 3, x 2’ye sağdan yaklaşırken 5 - x 3’e soldan mı sağdan mı yaklaşır?
x = 2^+ ise x > 2, 5 - x < 3, yani 5 - x \to 3^-. Dolayısıyla f(3^-). -
Alt kısımdaki f(x^2 - 1) için x \to 2^+:
x^2 - 1 = (2^+)^2 - 1 = 4 - 1 = 3^+ (Çünkü x > 2 ise x^2 de biraz 4’ten büyük olacağından ifade 3’ten biraz büyük olur.)
Yani alt ifade f(3^+).
Adım 4 — Yerlerine değerleri yaz
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için \lim_{x\to3^+} f(x)=1 ve \lim_{x\to3^-} f(x)=2 olduğuna göre, \displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{f(2x-1)+f(5-x)}{f(x^2-1)} limitinin değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir bileşke fonksiyonun limiti için iç fonksiyonun limiti belli ise dış fonksiyonun o noktadaki (uygun yönlü) limiti kullanılır:
Eğer \lim_{x\to a} g(x)=b ve \lim_{t\to b^\pm} f(t)=L ise \lim_{x\to a} f(g(x))=L (yaklaşma yönü korunarak).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İç ifadelerin 3’e nasıl yaklaştığını tespit et
x\to2^+
Birinci terim: 2x-1
= 2\cdot 2 - 1
= 4 - 1
= 3
= 2\cdot (x-2)
x\to2^+ iken x-2\to0^+ olduğundan 2(x-2)\to0^+, dolayısıyla 2x-1\to3^+.
İkinci terim: 5-x
= 5 - 2
= 3
= -(x-2)
x\to2^+ iken -(x-2)\to0^-, dolayısıyla 5-x\to3^-.
Üçüncü terim (payda içi): x^2-1
= 2^2 - 1
= 4 - 1
= 3
= (x-2)(x+2)
x\to2^+ iken (x-2)\to0^+ ve (x+2)\to4^+, böylece (x-2)(x+2)\to0^+, dolayısıyla x^2-1\to3^+.
Adım 2 — Fonksiyon limitlerini kullanarak pay ve paydayı ayrı ayrı değerlendirme
İnceleniyor:
Birinci terim: \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(2x-1)
= 1 (verilen)
İkinci terim: \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(5-x)
= 2 (verilen)
Payda: \displaystyle \lim_{x\to2^+} f(x^2-1)
= 1 (verilen)
Payın limiti: 1 + 2
= 3
Paydanın limiti: 1
= 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \displaystyle \frac{3}{1} = 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Yönlü limit
- Tanım: Bir fonksiyonun bir noktaya sağdan (^+) veya soldan (^-) yaklaşırken aldığı değerlerin limitidir.
- Bu problemde: f için sağdan ve soldan limitler farklı verildi; bu nedenle hangi iç ifadenin hangi yönden 3’e yaklaştığına dikkat ettik.
- Bileşke fonksiyon limiti
- Tanım: İç fonksiyonun limiti biliniyorsa ve dış fonksiyonun o noktadaki (uygun yönlü) limiti biliniyorsa bileşke fonksiyonun limiti bulunur.
- Bu problemde: İç ifadelerin 3’e hangi yönden yaklaştığını belirleyip verilen f limitlerini kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yönleri karıştırmak
- Yanlış: 2x-1 için 3’e soldan yaklaşıyor demek.
- Doğru: 2x-1 için x\to2^+ iken 2x-1\to3^+.
- Neden yanlış: Yaklaşma yönü iç fonksiyonun işaretine bağlıdır.
- Düzeltme: Küçük bir x=2+\varepsilon koyup işareti kontrol edin.
Paydanın sıfır olup olmadığını göz ardı etmek
- Yanlış: Payda limitini kontrol etmeden doğrudan bölme yapmak.
- Doğru: Önce pay ve payda limitlerini ayrı ayrı bulun; payda 0 ise durum farklı olur.
- Neden yanlış: Bölme belirsizliği veya sonsuzluk oluşabilir.
- Düzeltme: Payda limitini hesaplayıp 0 olup olmadığını kontrol edin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?