Limit8

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image585×400 60.2 KB

2

a, b ve c gerçek sayılar olmak üzere,

gerçek sayılar kümesinin birer alt kümesi üzerinde

f(x) = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - a}

g(x) = 3^x

fonksiyonları tanımlanıyor.

\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to b} g(x) = c olduğuna göre,

a + b + c toplamı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit hesaplama, özellikle sürekli olmayan noktalarda fonksiyonun sadeleşmesi ile bulunur.
  • Üstel fonksiyonların sürekliliği ve limit değerleri.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(x) fonksiyonunun limitini incele
f(x) = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - a} ifadesine bakalım.
Paydada x - a var, bu yüzden x = a noktasında payda sıfır oluyor, limitin var olması için pay da sıfır olmalı ve payda ile payda birbirini sadeleştirmelidir.

Payı çarpanlara ayıralım:
x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)

Adım 2 — a değerini bul
Limit x \to a da var ise,
x - a paydada olduğuna göre payda aynı zamanda x - a çarpanı içermeli, yani a payı sıfırlayan köklerden biri olmalı.
Yani a = 2 veya a = 5.

Adım 3 — Limit ifadesini sadeleştir

  • Eğer a = 2 ise:
    f(x) = \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 2} = x - 5, x \neq 2
    Limit: \lim_{x \to 2} f(x) = 2 - 5 = -3

  • Eğer a = 5 ise:
    f(x) = \frac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5} = x - 2, x \neq 5
    Limit: \lim_{x \to 5} f(x) = 5 - 2 = 3

Adım 4 — g(x) = 3^x fonksiyonunun limitini incele
\lim_{x \to b} g(x) = \lim_{x \to b} 3^x = 3^b = c

Adım 5 — Limitlerin eşitliği ve a, b, c ilişkisi
Soruya göre:
\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to b} g(x) = c

Yani limitler eşit ve c değeri için hem f(x) hem g(x) limiti aynı olmalı.

a = 2 ise f limiti -3, bu \implies c = -3 olur mu?
Ama g(x) = 3^x üstel fonksiyon, 3^b = -3 mümkün değil (üstel fonksiyonun değeri pozitiftir). Bu nedenle a=2 seçeneği olamaz.

a = 5 ise f(x) limiti 3, bu durumda c = 3.
3^b = 3 \implies b=1

Adım 6 — Toplamı hesapla
a + b + c = 5 + 1 + 3 = 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 9 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

a, b ve c gerçek sayılar olmak üzere, f(x)=\frac{x^{2}-7x+10}{x-a} ve g(x)=3^{x} fonksiyonları tanımlanıyor. \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to b} g(x)=c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir rasyonel fonksiyonun bir noktadaki limitinin sonlu olması için paydanın o noktadaki sıfırının pay ile sadeleşmesi gerekir (kaldırılabilir belirsizlik).
  • Üstel fonksiyon için \lim_{x\to b}3^{x}=3^{b}.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(x) ifadesini sadeleştir ve olası a değerlerini bul

f(x)=\frac{x^{2}-7x+10}{x-a}
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2)

Birinci durum: a=2

\lim_{x\to2}f(x)
f(x)=\frac{(x-5)(x-2)}{x-2}
=x-5\quad (x\neq2)
\lim_{x\to2}f(x)=2-5
=-3

Adım 2 — a=2 durumu için c ve g kontrolü

c=-3
g(x)=3^{x}
3^{x}>0\ \text{her }x\ \text{için}

Bu nedenle c=-3 olamaz çünkü 3^{b}>0 olmalıdır. Yani a\neq2.

İkinci durum: a=5

\lim_{x\to5}f(x)
f(x)=\frac{(x-5)(x-2)}{x-5}
=x-2\quad (x\neq5)
\lim_{x\to5}f(x)=5-2
=3

Adım 3 — g(x) ile eşleştir ve b’yi bul

c=3
\lim_{x\to b}g(x)=3^{b}=c
3^{b}=3
b=1

Adım 4 — a+b+c toplamı

a=5
b=1
c=3
a+b+c=5+1+3
=9

:white_check_mark: CEVAP: 9

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Kaldırılabilir belirsizlik
  • Tanım: Pay ve paydada ortak çarpan olduğunda meydana gelen ve sadeleştirilebilen belirsizlik.
  • Bu problemde: x-a paydası, payda faktörlerinden biriyle sadeleşmeli; bu yüzden a payın köklerinden biri olmalı (2 veya 5).
  1. Üstel fonksiyon
  • Tanım: Tabanı pozitif sabit olan ve üssü değişken olan fonksiyon.
  • Bu problemde: g(x)=3^{x} olduğu için limit doğrudan 3^{b} olur ve pozitiftir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: a’yı yanlış seçmek (a=2 kabul etmek)

  • Yanlış: a=2 alınırsa c=-3 bulunur.
  • Doğru: Üstel fonksiyonun değerinin pozitif olması gerektiği unutulmamalı; dolayısıyla c negatif olamaz.
  • Neden yanlış: 3^{b}>0 olduğu halde c=-3 negatif olur.
  • Düzeltme: Diğer kök a=5 denenmelidir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: