Limit7

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image587×401 55.9 KB

2

a ve b gerçek sayıları için f fonksiyonunun süreklilik koşuluna göre a + b toplamı kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir parça parça tanımlı fonksiyonun sürekli olması için her parçanın kesişim noktasında limitleri eşit olmalı ve bu noktalardaki fonksiyon değerleri limitlere eşit olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x = a noktasında süreklilik koşulu:

  • Soldaki fonksiyon: f(x) = x^2 - 4 (x ≤ a)
  • Sağdaki fonksiyon: f(x) = 5x - 8 (a < x ≤ b)

Burada süreklilik için,

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Bu da demek oluyor ki:

a^2 - 4 = 5a - 8

Eşitliği çözelim:

a^2 - 4 = 5a - 8
a^2 - 5a + 4 = 0

Bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım:

\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9
a = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Buna göre:

  • a_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4
  • a_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1

Adım 2 — x = b noktasında süreklilik koşulu:

  • Sağdaki fonksiyon: f(x) = 5x - 8 (a < x ≤ b)
  • Sonraki fonksiyon: f(x) = 7 (x > b)

Burada süreklilik için,

\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b)

Bu da demek oluyor ki:

5b - 8 = 7

Eşitliği çözelim:

5b = 15
b = 3

Adım 3 — Doğru a ve b çiftini seçme:

a’nın iki değeri var: 1 veya 4

Ancak fonksiyonun tanımlama aralıkları şu şekilde:

  • x \leq a aralığında birinci fonksiyon var,
  • a < x \leq b aralığında ikinci fonksiyon var,
  • x > b aralığında üçüncü fonksiyon var.

Burada a < b olmalı.

  • Eğer a=4 olursa, b=3 bundan daha küçük, bu mümkün değil çünkü a < b olmalı.
  • Eğer a=1 olursa, b=3, ve 1 < 3 koşulu sağlanıyor.

Bu nedenle a=1 ve b=3 seçilir.

Adım 4 — a + b toplamı:

a + b = 1 + 3 = 4

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 4

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Süreklilik için her noktada fonksiyonun sol limitinin sağ limite eşit olması gerekir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x = b noktasında süreklilik

Kurulum:

5b - 8 = 7
5b - 8 = 7
5b = 15
b = 3

Adım 2 — x = a noktasında süreklilik

Kurulum:

a^2 - 4 = 5a - 8
a^2 - 4 = 5a - 8
a^2 - 5a + 4 = 0
(a - 1)(a - 4) = 0
a = 1 \quad \text{veya} \quad a = 4

Adım 3 — Uygun çözümün seçilmesi

Kurulum:

b = 3
a = 4 \ \text{olursa} \ a > b \ \text{olur ve orta aralık} \ (a,x \le b) \ \text{tutarsız olur}
a = 1 \ \text{ise} \ a \le b \ \text{olur ve tanım tutarlıdır}
a = 1

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Süreklilik

  • Tanım: Bir noktada fonksiyonun sol ve sağ limitleri varsa ve birbirine eşit olup fonksiyon değeriyle aynıysa fonksiyon o noktada süreklidir.
  • Bu problemde: x = a ve x = b noktalarında sol ve sağ parçaların değerleri eşitlenerek süreklilik sağlandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Aralık sıralamasını göz ardı etmek

  • Yanlış: Her iki kökü de kabul etmek (a = 4 ve b = 3).
  • Doğru: Parçalı tanımın anlamı gereği a ≤ b olmalı; bu yüzden a = 1 seçilmelidir.
  • Neden yanlış: a > b olursa ara parça tutarsız veya boş olur, fonksiyon tanımı çakışır.
  • Düzeltme: Bulunan kökleri işlem aralığı ile kontrol et.

:white_check_mark: CEVAP: 4

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: