Limit6

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image569×350 25.4 KB

2

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+5} - \sqrt{5}}{x} limitinin değeri kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Kenar durumlarda sonsuz bölü sonsuz belirsizliği varsa, ifadeyi eşleniği ile çarparak veya türev alarak limiti bulabiliriz. Bu problemde eşleniği ile çarpma yöntemi uygun olacaktır. Ayrıca, türev tanımına benzetebiliriz:

\lim_{x \to 0} \frac{f(5+x) - f(5)}{x} = f'(5)

burada f(x) = \sqrt{x} fonksiyonudur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşleniği ile çarp

\frac{\sqrt{x+5} - \sqrt{5}}{x} \times \frac{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} = \frac{(x+5) - 5}{x(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})}

Adım 2 — Payı sadeleştir

\frac{x}{x(\sqrt{x+5} + \sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}

Adım 3 — Limit al
x \to 0 için \sqrt{x+5} \to \sqrt{5} olur; o zaman:

\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}

Adım 4 — Sonucu sadeleştir

\frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}

:white_check_mark: CEVAP: C) \frac{\sqrt{5}}{10}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}$$ limitinin değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Tanım: \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(a+x)-f(a)}{x}=f'(a) (türevin limit tanımı) ve ifadeyi rasyonelleştirme yöntemi.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Başlangıç ifadesi

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}

Adım 2 — Payı eşleniğiyle çarp (rasyonelleştir)

= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{5})(\sqrt{x+5}+\sqrt{5})}{x(\sqrt{x+5}+\sqrt{5})}
= \lim_{x\to 0}\frac{(x+5)-5}{x(\sqrt{x+5}+\sqrt{5})}
= \lim_{x\to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+5}+\sqrt{5})}
= \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}
= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}
= \frac{1}{2\sqrt{5}}
= \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}
= \frac{\sqrt{5}}{2\cdot 5}
= \frac{\sqrt{5}}{10}

:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Rasyonelleştirme
  • Tanım: Karekök içeren ifadelerin payını payda ile eşlenik çarpanı kullanarak sadeleştirme yöntemi.
  • Bu problemde: Payın farkı formülü kullanılarak (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b elde edildi.
  1. Türev (limit ile ilişki)
  • Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranı; türev limit tanımıyla verilir.
  • Bu problemde: İfade \frac{f(5+x)-f(5)}{x} biçiminde olduğundan türev fikriyle de yorumlanabilir; sonuç aynı şekilde \frac{1}{2\sqrt{5}} olur.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölme işlemini iptal etmeden x yerine 0 koymak

  • Yanlış: İlk adımda doğrudan x=0 konulup pay ve payda ayrı ayrı 0 zannedilmesi.
  • Doğru: Önce rasyonelleştirip x faktörünü sadeleştirdikten sonra x\to 0 yerine koymak gerekir.
  • Düzeltme: Payda ve payda ortak x faktörü alınmalı ve iptal edilmelidir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: