Limit55

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

a ve b gerçek sayıları için f ve g fonksiyonlarının sürekliliğinden a • b çarpımını bulunuz

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun sürekliliği için, parçalı tanımlı fonksiyonlarda geçiş noktalarında limitlerin ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f fonksiyonunun sürekliliğini sağlama (x = a noktasında)
f(x) = \begin{cases} 2x+2 & , x \leq a \\ x-1 & , x > a \end{cases}
Burada süreklilik için:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Sol limit:

\lim_{x \to a^-} f(x) = 2a + 2

Sağ limit:

\lim_{x \to a^+} f(x) = a - 1

F(a) fonksiyon değeri sol parçanın fonksiyon değeri olduğu için:

f(a) = 2a + 2

Süreklilik için:

2a + 2 = a - 1

Buradan:

2a + 2 = a - 1 \implies 2a - a = -1 - 2 \implies a = -3

Adım 2 — g fonksiyonunun sürekliliğini sağlama (x = 1 noktasında)
g(x) = \begin{cases} a x^2 + 1 & , x \leq 1 \\ 3x + b & , x > 1 \end{cases}
Süreklilik için:

\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1)

Sol limit:

\lim_{x \to 1^-} g(x) = a \cdot 1^2 + 1 = a + 1

Sağ limit:

\lim_{x \to 1^+} g(x) = 3 \cdot 1 + b = 3 + b

F(1) fonksiyon değeri sol parçanın fonksiyon değeri olduğu için:

g(1) = a + 1

Süreklilik için:

a + 1 = 3 + b \implies b = a - 2

Adım 3 — a’yı Adım 1’den bulduk: a = -3, b’yi bulma

b = a - 2 = -3 - 2 = -5

Adım 4 — a • b çarpımını hesapla

a \cdot b = (-3) \cdot (-5) = 15

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

[Sorumatik_GPT-5]

Buna göre, a ● b çarpımı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Süreklilik: Bir fonksiyonun bir noktadaki sola ve sağa limitleri eşitse fonksiyon o noktada süreklidir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f fonksiyonunun x = a noktasındaki sürekliliği

Süreklilik koşulu:

\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)

Sol taraf (x ≤ a için):

f(a^-)=2a+2

Sağ taraf (x > a için, x→a^+ olduğunda):

f(a^+)=a-1

Eşitle:

2a+2=a-1

2a+2-a=-1

a+2=-1

a=-1-2

a=-3

Adım 2 — g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki sürekliliği

Süreklilik koşulu:

\lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^+} g(x)

Sol taraf (x ≤ 1 için):

g(1^-)=a\cdot 1^2 + 1 = a+1

Sağ taraf (x > 1 için):

g(1^+)=3\cdot 1 + b = 3+b

Eşitle:

a+1=3+b

a+1-3=b

a-2=b

a’nın değeri yerine konur:

b=a-2

b=-3-2

b=-5

Adım 3 — a ● b çarpımının bulunması

İstenen:

a\cdot b

Yerine koyma:

a\cdot b = (-3)\cdot (-5)

CEVAP: $$a\cdot b = (-3)\cdot(-5)=15$$

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Süreklilik

• Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan limitleri eşitse fonksiyon o noktada süreklidir.
• Bu problemde: Parçalı tanımlı fonksiyonların sınır noktalarında parçaların değerleri eşitlenerek a ve b bulundu.

2. Parçalı fonksiyonların değerlendirilmesi

• Tanım: Her parça kendi tanım kümesi içinde kullanılır; sınır noktalarında her iki parçanın limitleri karşılaştırılır.
• Bu problemde: f için x=a, g için x=1 sınır noktaları kontrol edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

Sınır noktasındaki parçayı yanlış değerlendirme

• Yanlış: x=a için f(x)'in sağ parçayı (x-1) doğrudan kullanmak yerine sol parçayı karıştırmak.
• Doğru: Sınır noktasında her iki parçanın limitleri eşitlenir.
• Neden yanlış: Parçalı fonksiyonlarda hangi parçanın hangi aralıkta geçerli olduğu karıştırılır.
• Düzeltme: Her zaman sol ve sağ limitleri ayrı ayrı hesaplayıp eşitle.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?