Limit49

YKS TYT
1

image
image671×512 47.7 KB

2

Bir kenarına duvar örülmüş dikdörtgen bahçenin alanını bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dikdörtgen alan formülü: A = \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar}
  • Tel uzunluğu: Bahçenin çevresindeki korunmayan kenarlara iki sıra dikenli tel çekilmiş.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri belirle:

Dikdörtgenin;

  • Duvar olan kenarı = x metre
  • Duvar olmayan diğer kenarı = y metre

Adım 2 — Telin kullanıldığı kenarları ifade et:

  • Duvar kenarına tel çekilmemiş.
  • Diğer üç kenarın çevresi, dikenli tel ile çevrilmiş.
  • Bu üç kenardan iki kenar uzunluğu y (kısa kenar), bir kenar uzunluğu x (uzun kenar).

Adım 3 — Tel uzunluğu eşitliği kur:

Dikenli tel iki sıra olarak çekildiğine göre:

\text{Toplam tel} = 2 \times (\text{korunmayan kenarların toplamı})

Korunmayan kenarların toplamı:

x + 2y

Tel uzunluğu 120 metre:

2(x + 2y) = 120

Bunu basitleştir:

x + 2y = 60

Adım 4 — Alanı ifade et:

Bahçenin alanı:

A = x \times y

Adım 5 — x’i y’ye göre bul:

x = 60 - 2y

Adım 6 — Alanı yalnızca y cinsinden yaz:

A = y(60 - 2y) = 60y - 2y^2

Adım 7 — Alanı maksimize et:

Alan bir parabol olduğundan, maksimum değeri türev alarak bulabiliriz:

\frac{dA}{dy} = 60 - 4y = 0 \implies 4y = 60 \implies y = 15

Adım 8 — x’i bul:

x = 60 - 2(15) = 60 - 30 = 30

Adım 9 — Alanı hesapla:

A = x \times y = 30 \times 15 = 450 \text{ m}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Bahçenin alanı 450 metrekaredir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Dikdörtgenin alanı

    • Tanım: Uzun kenar ile kısa kenarın çarpımına eşittir.
    • Bu problemde: Alan, tel çevresi ile ilişkilendirilen kenar uzunlukları ile hesaplandı.

  2. Fonksiyonun maksimum değeri

    • Tanım: Parabol şeklindeki alan fonksiyonunun türevi sıfır yapılan noktada maksimum alan bulunur.
    • Bu problemde: A = 60y - 2y^2 fonksiyonu türev alınarak maksimum alan hesaplandı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Bir kenarına duvar örülmüş dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin açık kısmına iki sıra dikenli tel çekilmiştir. Toplam 120 metre dikenli tel kullanıldığına göre bahçenin alanı kaç metrekaredir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dikdörtgen alanı: A = \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri belirle

  • Tanım: Duvar olan kenarın uzunluğunu x metre, duvar olmayan kenarın uzunluğunu y metre alalım.

Adım 2 — Telin kullanıldığı kenarları ifade et

  • Açıklama: Duvar olan kenara tel çekilmemiştir.
  • Açıklama: Diğer üç kenara iki sıra tel çekilmiştir.
  • Açıklama: Korunmayan kenarların toplamı x + 2y olur.

Adım 3 — Tel uzunluğu eşitliğini kur

  • Kurulum: İki sıra tel olduğuna göre toplam tel:
2(x + 2y) = 120
  • Basitleştir:
x + 2y = 60

Adım 4 — Alanı ifade et

  • Kurulum: Alan A = x \times y

Adım 5 — x’i y cinsinden yaz

  • İşlem:
x = 60 - 2y

Adım 6 — Alanı yalnızca y cinsinden yaz

  • İşlem:
A = y(60 - 2y)
  • Açıklama: Dağıtarak:
A = 60y - 2y^2

Adım 7 — Alanı maksimize et (türev yöntemiyle)

  • İşlem:
\frac{dA}{dy} = 60 - 4y
  • Kritik nokta:
60 - 4y = 0
  • Çözüm:
4y = 60
y = 15

Adım 8 — x’i bul

  • İşlem:
x = 60 - 2(15)
  • Sonuç:
x = 30

Adım 9 — Alanı hesapla

  • İşlem:
A = x \times y
A = 30 \times 15
A = 450

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Dikdörtgenin alanı

  • Tanım: Uzun kenar ile kısa kenarın çarpımıdır.
  • Bu problemde: Alan, tel uzunluğundan elde edilen kenar uzunluklarıyla hesaplandı.

2. Maksimum değer (parabol)

  • Tanım: İkinci derece bir fonksiyonun maksimumu türev sıfır noktasında bulunur (a<0 ise maksimum).
  • Bu problemde: A(y)=60y-2y^2 fonksiyonunun türevini sıfıra eşitleyerek maksimum alana ulaştık.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Telin tüm kenarlara çekildiğini varsaymak

  • Yanlış: Çevrenin tamamı tel ile çevrildiği varsayılır.
  • Doğru: Duvar olan kenara tel çekilmediği için sadece üç kenar korunmuştur.
  • Neden yanlış: Bu durumda tel eşitliği yanlış kurulur ve sonuç hatalı olur.
  • Düzeltme: Korunmayan kenarların toplamını doğru ifade etmek gerekir: x + 2y.

:white_check_mark: CEVAP: Bahçenin alanı 450 metrekaredir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?