Limit47

YKS TYT
1

image
image720×595 28.1 KB

2

Dikdörtgen biçimindeki çiftliğin alanı en çok kaç m² dir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Çit ile çevrilen alanın kenar uzunlukları ve toplam çit uzunluğu veriliyor.
  • Alanı en çok yapan durum, verilen çevre uzunluğunda maksimum alanı veren dikdörtgenin kenarlarının eşit uzunluklara yakın olmasıdır.
  • Alan = Uzunluk × Genişlik
  • Çevre = 2 × (Uzunluk + Genişlik)
  • Burada çiftliğin bir duvarı olduğundan çit duvar tarafında kullanılmaz, dolayısıyla çit toplam uzunluğu = 3 kenar toplamıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çitin çevre uzunluğunu belirle

  • Dikdörtgenin 4 kenarı var ancak duvar bir kenar ve orası çitle çevrili değil.
  • Bu durumda toplam çit uzunluğu 120 m = duvar dışındaki 3 kenarın uzunluğu.
  • Diyelim ki duvar kenarı uzunluk x , diğer kenarlar y olsun.
  • Çit: x + 2y = 120 .

Adım 2 — Alanı ifade et

  • Alan = x \times y .
  • Ancak elimizde x + 2y = 120 var.
  • Buradan x = 120 - 2y olarak bulabiliriz.
  • Alan fonksiyonu A(y) = y \times (120 - 2y) = 120y - 2y^2 .

Adım 3 — Alanı maksimize et

  • A(y) = -2y^2 + 120y parabolü maksimuma sahip bir fonksiyon.
  • Maksimum nokta türev alınıp sıfıra eşitlenerek bulunur.
  • A'(y) = 120 - 4y = 0 \Rightarrow y = 30 metre.

Adım 4 — x 'i bul

  • x = 120 - 2 \times 30 = 120 - 60 = 60 metre.

Adım 5 — Maksimum alanı hesapla

  • A = x \times y = 60 \times 30 = 1800 m².

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 1800

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Dikdörtgen biçimindeki çiftliğin duvar tarafı dışındaki bölümü çit ile çevrilecektir. Çitin toplam uzunluğu 120 m olduğuna göre, çiftliğin alanı en çok kaç m²’dir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Alan: A = x\cdot y (x: duvara dik kenar, y: duvara paralel kenar)
Çit uzunluğu: L = 2x + y = 120
Maksimum için: Parabolün tepe noktası formülü x_{\text{tepe}} = -\dfrac{b}{2a} (ikinci dereceden fonksiyon ax^2+bx+c için)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri belirle
Tanım: x duvara dik kenar, y duvara paralel kenar.

Adım 2 — Çit uzunluğu eşitliğini yaz

L = 2x + y = 120

Adım 3 — y’yi x cinsinden ifade et

y = 120 - 2x

Adım 4 — Alanı x cinsinden yaz

A(x) = x\cdot y
A(x) = x(120 - 2x)
A(x) = 120x - 2x^2

Adım 5 — Maksimumu bulmak için paraboliğin tepe noktasını hesapla
Tanım: İkinci dereceden A(x)= -2x^2 + 120x şeklinde; burada a=-2, b=120.

a = -2
b = 120
x_{\text{tepe}} = -\dfrac{b}{2a}
x_{\text{tepe}} = -\dfrac{120}{2\cdot(-2)}
x_{\text{tepe}} = -\dfrac{120}{-4}
x_{\text{tepe}} = 30

Adım 6 — y ve maksimum alanı hesapla

y = 120 - 2x
y = 120 - 2\cdot 30
y = 120 - 60
y = 60
A_{\max} = x\cdot y
A_{\max} = 30\cdot 60
A_{\max} = 1800

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Tepe noktası (parabol):
  • Tanım: İkinci dereceden bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini veren x değeri.
  • Bu problemde: Alanı veren parabolün tepe noktası maksimum alanı verir.
  1. Alan ve çevre ilişkisi:
  • Tanım: Sabit çevre (veya sabit çit uzunluğu) altında alanı maksimize etme problemi optimizasyon örneğidir.
  • Bu problemde: Çitin sabit uzunluğu 120 m olduğundan üç kenar ilişkisiyle alan maksimize edildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hata: Dört kenarın toplamının 120 m olduğu varsaymak.

  • Yanlış: 2x + 2y = 120 alınıp çözülür.
  • Doğru: Duvar bir kenarı oluşturduğu için sadece üç kenar çitlenir: 2x + y = 120.
  • Neden yanlış: Duvar tarafı için çit gerekmez, bu kenar çevrilmiyor.
  • Düzeltme: Duvarın hangi kenar olduğu soruda belirtilmişse onu çit uzunluğundan çıkarın.

:cross_mark: Hata: Parabolün tepe noktasını yanlış formülle hesaplamak.

  • Yanlış: x = -\dfrac{b}{a} veya başka hatalı ifade kullanmak.
  • Doğru: x = -\dfrac{b}{2a} kullanılmalı.

:white_check_mark: CEVAP: 1800 m²

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: