Limit46

YKS TYT
1

image
image586×232 28.2 KB

2

Bir dikdörtgenin çevresi 40 cm olduğuna göre, alanı en çok kaç cm²’dir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dikdörtgenin çevresi: 2 \times (a + b) = 40
  • Alan: A = a \times b
  • Bir çevre sabitken, dikdörtgenin alanı en çok kare şeklindeyken olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çevre formülünden bir ilişkisi kur

2(a + b) = 40 \implies a + b = 20

Adım 2 — Alanı a cinsinden yaz

b = 20 - a \implies A = a \times b = a \times (20 - a) = 20a - a^2

Adım 3 — Alanın maksimum değerini bulmak için türev al (parabolün tepe noktası)

\frac{dA}{da} = 20 - 2a
20 - 2a = 0 \implies a = 10

Adım 4 — a değerini b’ye yerine koy

b = 20 - 10 = 10

Adım 5 — Alanı hesapla

A = 10 \times 10 = 100 \; \text{cm}^2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 100

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Dikdörtgenin çevresi

    • Tanım: Bir dikdörtgenin tüm kenarlarının toplam uzunluğu.
    • Bu problemde: Çevre sabit olduğunda, kenarların toplamı belirli bir değerde.

  2. Alan ve maksimum değer

    • Tanım: Alan, dikdörtgenin iki kenarının çarpımıdır.
    • Bu problemde: Sabit çevre için alan maksimum değeri, kare durumunda yani kenarlar eşitken gerçekleşir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Bir dikdörtgenin çevresi 40 cm olduğuna göre, alanı en çok kaç cm^2 dir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dikdörtgen çevresi: 2(x+y)=P
  • Alan: A=xy
  • Tam kareye tamamlama yöntemiyle (veya AM-GM ile) sabit toplamda iki sayının çarpımının maksimumunun eşit olduklarında gerçekleştiğini kullanacağız.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kenarların toplamını bulun

Kenarları x ve y alalım.

2(x+y)=40
x+y=20

Adım 2 — Alanı ifade et ve fonksiyonu yaz

Alan ifadesi:

A=xy

y’yi x cinsinden yaz:

y=20-x

Alan fonksiyonu:

A(x)=x(20-x)
A(x)=20x - x^2

Adım 3 — Maksimumu bulun (tam kareye tamamlama)

A(x)=-x^2+20x
A(x)=-\bigl(x^2-20x\bigr)
A(x)=-\bigl(x^2-20x+100\bigr)+100
A(x)=-(x-10)^2+100

Bu ifadeden (x-10)^2 \ge 0 olduğuna göre A(x) en fazla 100 olur ve bu maksimum x=10 olduğunda gerçekleşir.

Adım 4 — Diğer kenarı bulun ve alanı doğrula

x=10
y=20-x
y=20-10
y=10

Alan:

A=xy
A=10\cdot 10
A=100\ \text{cm}^2

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Dikdörtgen çevre formülü

    • Tanım: Bir dikdörtgenin çevresi 2(x+y)'dir.
    • Bu problemde: Çevre 40 olduğundan x+y=20.

  2. Tam kareye tamamlama / AM-GM

    • Tanım: Sabit toplamda iki sayının çarpımı eşit olduklarında maksimumdur.
    • Bu problemde: x+y sabit olduğunda maksimum alan x=y ile elde edilir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kenarları eşit saymamak

  • Yanlış: x ve y farklı bir değer alırsam daha büyük alan olur.
  • Doğru: x=y=10 en büyük alanı verir.
  • Neden yanlış: Sabit toplamda çarpımın maksimumu eşit parçadan gelir.
  • Düzeltme: A(x)=-(x-10)^2+100 formülünden maksimumun 100 olduğunu gör.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

:white_check_mark: CEVAP: 100