Limit44

YKS TYT
1

image
image592×323 28.7 KB

2

y = x³ − 2x² − 15x + 4 fonksiyonunun hangi apsisli noktada yerel minimumu vardır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Yerel minimumu bulmak için önce fonksiyonun türevidini al, türevden kritik noktaları bul.
  • Kritik noktalarda türevin ikinci türevine bak, eğer pozitifse yerel minimumdur, negatifse yerel maksimumdur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevi Al

y = x^3 - 2x^2 - 15x + 4
y' = 3x^2 - 4x - 15

Adım 2 — Kritik Noktaları Bul

3x^2 - 4x - 15 = 0

Bu ikinci derece denklemi çözelim:

x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-15)}}{2 \times 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{4 \pm 14}{6}

İki kök var:

x_1 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3
x_2 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}

Adım 3 — İkinci Türevi Al

y'' = 6x - 4

Adım 4 — Kritik Noktalarda İkinci Türevi İncele

  • x = 3 için:
y''(3) = 6 \times 3 - 4 = 18 - 4 = 14 > 0 \quad \Rightarrow \text{Yerel minimum}
  • x = -\frac{5}{3} için:
y''\left(-\frac{5}{3}\right) = 6 \times \left(-\frac{5}{3}\right) - 4 = -10 - 4 = -14 < 0 \quad \Rightarrow \text{Yerel maksimum}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

y = x^3 - 2x^2 - 15x + 4 fonksiyonunun hangi apsisli noktada yerel minimumu vardır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kritik noktalar için türev y'=0 çözülür.
  • İkinci türev testi: y''(x)>0 ise yerel minimum, y''(x)<0 ise yerel maksimum.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevini al ve kritik noktaları bul

Türev alıyoruz:

y = x^3 - 2x^2 - 15x + 4
y' = \frac{d}{dx}\left(x^3\right) - \frac{d}{dx}\left(2x^2\right) - \frac{d}{dx}\left(15x\right) + \frac{d}{dx}\left(4\right)

Birinci terim:

\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2

İkinci terim:

\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x

Üçüncü terim:

\frac{d}{dx}(15x) = 15

Dördüncü terim:

\frac{d}{dx}(4) = 0
y' = 3x^2 - 4x - 15

Kritik noktalar için:

3x^2 - 4x - 15 = 0

Diskriminantı hesaplıyoruz:

\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3 \cdot (-15)
\Delta = 16 + 180
\Delta = 196
\sqrt{\Delta} = 14

Kökler:

x = \frac{4 \pm 14}{6}

İlk kök:

x = \frac{4 + 14}{6}
x = \frac{18}{6}
x = 3

İkinci kök:

x = \frac{4 - 14}{6}
x = \frac{-10}{6}
x = -\frac{5}{3}

Adım 2 — İkinci türev testi ile sınıflandır

İkinci türevi alıyoruz:

y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x - 15)
\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x
\frac{d}{dx}(-4x) = -4
\frac{d}{dx}(-15) = 0
y'' = 6x - 4

Değerlendiriyoruz:

y''(3) = 6\cdot 3 - 4
y''(3) = 18 - 4
y''(3) = 14
y''\left(-\frac{5}{3}\right) = 6\cdot\left(-\frac{5}{3}\right) - 4
y''\left(-\frac{5}{3}\right) = -10 - 4
y''\left(-\frac{5}{3}\right) = -14

Sonuç: y''(3)>0 olduğundan x=3 noktasında yerel minimum vardır.
y''(-\tfrac{5}{3})<0 olduğundan x=-\tfrac{5}{3} noktasında yerel maksimum vardır.

:white_check_mark: CEVAP: 3 (E şıkkı)

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını verir.
  • Bu problemde: Kritik noktaları bulmak için kullanıldı.
  1. İkinci türev testi
  • Tanım: Kritik noktalarda fonksiyonun eğriliğine bakar.
  • Bu problemde: Pozitifse yerel minimum, negatifse yerel maksimum belirledik.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Diskriminantı yanlış hesaplama

  • Yanlış: \Delta’yı eksik veya hatalı toplamak.
  • Doğru: \Delta = 16 + 180 = 196.
  • Neden yanlış: Küçük toplama hatası kökleri değiştirir.
  • Düzeltme: Adım adım \Delta hesaplanmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: