Limit43

YKS TYT
1

image
image633×474 20.2 KB

2

f(x) = -\frac{1}{3}x³ + x² + 3x + 1 fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun artan olduğu aralıklar, türevinin pozitif olduğu (f’(x) > 0) aralıklardır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun türemini bulun
f(x) = -\frac{1}{3}x³ + x² + 3x + 1
f’(x) = - \frac{1}{3} * 3x² + 2x + 3
f’(x) = -x² + 2x + 3

Adım 2 — Türevin işaretini inceleme için kritik noktaları bulun
f’(x) = -x² + 2x + 3 = 0
-x² + 2x + 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0 (her iki tarafı -1 ile çarptık)

Kökleri bulmak için:
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Buradan,
x₁ = (2 - 4)/2 = -1
x₂ = (2 + 4)/2 = 3

Adım 3 — Türev işaret tablosu oluşturun ve artanlık aralığını belirleyin

  • x < -1 için f’(x) testi: Örnek x = -2,
    f’(-2) = -(-2)² + 2(-2) + 3 = -4 -4 + 3 = -5 < 0 (fonksiyon azalan)

  • -1 < x < 3 için f’(x) testi: Örnek x = 0,
    f’(0) = -0 + 0 + 3 = 3 > 0 (fonksiyon artan)

  • x > 3 için f’(x) testi: Örnek x = 4,
    f’(4) = -16 + 8 + 3 = -5 < 0 (fonksiyon azalan)

Adım 4 — Artan olduğu en geniş aralığı yazın
Fonksiyon f’(x) > 0 olduğu -1, 3 aralığında artmaktadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Fonksiyonun en geniş artan aralığı (-1, 3)'tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Türev ve Fonksiyonun Artan-azalan Olması

  • Tanım: Bir fonksiyonun türevi pozitif ise fonksiyon artandır, negatif ise azalandır.
  • Bu problemde: Fonksiyonun en geniş artan aralığını bulmak için türevi alıp işaret analizini yaptık.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\; f(x) = -\tfrac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x + 1 fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Türev alma kuralı: (ax^n)' = a n x^{n-1}
  • İşaret analizi: İkinci dereceden bir polinomun işareti kökler arasında değişir; çarpım negatif ise değişken iki kök arasında olur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevi Bul

Fonksiyonun türevi alınacaktır:

f'(x) = \left(-\tfrac{1}{3}x^{3}\right)' + (x^{2})' + (3x)' + (1)'

Birinci terim:

\left(-\tfrac{1}{3}x^{3}\right)'

=

-\tfrac{1}{3} \cdot 3 x^{2}

=

-x^{2}

İkinci terim:

(x^{2})'

=

2x

Üçüncü terim:

(3x)'

=

3

Dördüncü terim:

(1)'

=

0

Toplama:

f'(x) = -x^{2} + 2x + 3 + 0

=

f'(x) = -x^{2} + 2x + 3

Adım 2 — Türevin işaretini incele

Artanlık için f'(x)>0 olması gerekir. Denklemi kur:

-x^{2} + 2x + 3 > 0

Eşitsizliği sadeleştir:

x^{2} - 2x - 3 < 0

Çarpanlara ayır:

(x-3)(x+1) < 0

İşaret analizi sonucu ifade negatif olduğunda x iki kök arasında olur:

-1 < x < 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: (-1,\;3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını veren limit.
  • Bu problemde: Fonksiyonun artıp azalmadığını belirlemek için türev kullanıldı.
  1. İşaret Analizi
  • Tanım: Bir polinomun işareti köklerine göre değişir.
  • Bu problemde: İkinci dereceden türevin kökleri arası aralık artanlık bölgesi verdi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Türevin yanlış alınması

  • Yanlış: \left(-\tfrac{1}{3}x^{3}\right)' = -\tfrac{1}{3}x^{2}
  • Doğru: \left(-\tfrac{1}{3}x^{3}\right)' = -x^{2}
  • Neden yanlış: Katsayı ve üs işlemi doğru uygulanmaz.
  • Düzeltme: Katsayıyı üsle çarpıp üsten bir eksiltmeyi unutma.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?