Limit42

YKS TYT
1

image
image585×521 25.9 KB

2

y = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 21x + 3 fonksiyonu hangi aralıklarda artar?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Bir fonksiyonun artma ve azalma intervalini bulmak için:

  • Fonksiyonun türevi alınır.
  • y' > 0 olduğu aralıklarda fonksiyon artar.
  • y' < 0 olduğu aralıklarda fonksiyon azalır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevi al

y = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 21x + 3

Türev:

y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} \right) - \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(21x) + \frac{d}{dx}(3)
y' = x^2 - 4x - 21

Adım 2 — Türevi sıfıra eşitle ve kritik noktaları bul

x^2 - 4x - 21 = 0
(x - 7)(x + 3) = 0
x = 7 \quad \text{ve} \quad x = -3

Adım 3 — Türev işaret tablosu oluştur

Kritik noktalar: -3 ve 7

  • x < -3 için bir test noktası: x = -4
y'(-4) = (-4)^2 - 4(-4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 > 0
  • -3 < x < 7 için test noktası: x=0
y'(0) = 0 - 0 - 21 = -21 < 0
  • x > 7 için test noktası: x=8
y'(8) = 64 - 32 - 21 = 11 > 0

Adım 4 — Sonuçları aralıklarla eşleştir

  • (-\infty, -3) aralığında türev pozitif → fonksiyon artıyor.
  • (-3, 7) aralığında türev negatif → fonksiyon azalıyor.
  • (7, \infty) aralığında türev pozitif → fonksiyon artıyor.

Adım 5 — Verilen aralıklarla karşılaştır

  • I. (-\infty, -3] : Artar (Türev > 0)
  • II. [-2, 6] : Bu aralık (-3,7) içinde ve türev negatif, yani azalma var.
  • III. [7, \infty): Artar (Türev > 0)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: I ve III aralıklarında fonksiyon artar.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

y = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 - 21x + 3 fonksiyonu I. (-\infty,-3] II. [-2,6] III. [7,\infty) aralıklarından hangilerinde artandır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • türev: polinomun türevi terim terim alınır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun türevini bul

Fonksiyon:

y = \dfrac{x^3}{3} - 2x^2 - 21x + 3

Birinci terim:

\frac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^3}{3}\right)
= x^2

İkinci terim:

\frac{d}{dx}(-2x^2)
= -4x

Üçüncü terim:

\frac{d}{dx}(-21x)
= -21

Dördüncü terim (sabit):

\frac{d}{dx}(3)
= 0

Tüm terimleri topla:

y' = x^2 - 4x - 21

Çarpanlarına ayır:

x^2 - 4x - 21
= (x-7)(x+3)

Kritik noktalar:

x-7 = 0
x = 7
x+3 = 0
x = -3

Adım 2 — İşaret incelemesi

x<-3 için örnek x=-4:

y'(-4) = (-4)^2 - 4\cdot(-4) - 21
= 16 + 16 - 21
= 11 > 0

-3<x<7 için örnek x=0:

y'(0) = 0^2 - 4\cdot 0 - 21
= -21 < 0

x>7 için örnek x=8:

y'(8) = 8^2 - 4\cdot 8 - 21
= 64 - 32 - 21
= 11 > 0

Sonuç:

  • y'>0 iken fonksiyon artar.
  • y'>0 için x\in(-\infty,-3) veya x\in(7,\infty).
  • x=-3 ve x=7 noktalarında y'=0 (noktasal yatay teğet); kapalı uçlar içeren aralıklar için bu uçlar artma özelliğini bozmaz.

:white_check_mark: CEVAP: I ve III aralıklarında artardır (I: (-\infty,-3], III: [7,\infty)).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: