Limit4

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image615×389 43.1 KB

2

f(x) fonksiyonunun sürekliliği ve a + b toplamı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir fonksiyonun sürekliliği için, fonksiyonun tanımlı olduğu her yerde, sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri eşit olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x = 0 noktasındaki süreklilik koşulu
f(x) fonksiyonu x=0 noktasında sürekli olduğuna göre,

\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)

Sol limit:

\lim_{x \to 0^-} (10 - x^2) = 10 - 0 = 10

Fonksiyonun 0’daki değeri f(0) = a \cdot 0 + b = b
Sağ limit:

\lim_{x \to 0^+} (ax + b) = a \cdot 0 + b = b

Bu durumda;

10 = b = b \implies b = 10

Adım 2 — x = 3 noktasındaki süreklilik koşulu
f(x) fonksiyonu x=3 noktasında sürekli olduğuna göre,

\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = \lim_{x \to 3^+} f(x)

Sol limit:

\lim_{x \to 3^-} (ax + b) = 3a + b

Fonksiyonun 3’teki değeri f(3) = ax + b = 3a + b (tanımlı olduğu aralıktaki değeri)
Sağ limit:

\lim_{x \to 3^+} (1 - x)^2 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4

Bu durumda eşitlik:

3a + b = 4

Burada b = 10 olduğuna göre:

3a + 10 = 4 \implies 3a = 4 - 10 = -6 \implies a = -2

Adım 3 — a + b toplamını bulma

a + b = -2 + 10 = 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 8 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f(x)=\begin{cases}10-x^{2}, & x<0\ ax+b, & 0\le x\le 3\ (1-x)^{2}, & x>3\end{cases} fonksiyonu gerçek sayılar kümesi üzerinde sürekli ise a+b toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Süreklilik: Bir noktada fonksiyon sürekli ise sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşittir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — x=0 için süreklilik

  • Açıklama: x=0 için sol limit ile ortadaki parçanın değeri eşit olmalıdır.

Sol limit (x→0^-):

\lim_{x\to 0^-} f(x)=10-0^{2}
=10

Orta parçanın 0’daki değeri:

f(0)=a\cdot 0+b
=b

Eşitlikten:

b=10

Adım 2 — x=3 için süreklilik

  • Açıklama: x=3 için orta parçanın değeri ile sağ limit eşit olmalıdır.

Sağ limit (x→3^+):

\lim_{x\to 3^+} f(x)=(1-3)^{2}
=(-2)^{2}
=4

Orta parçanın 3’teki değeri:

f(3)=a\cdot 3 + b
=3a + b

Eşitlikten:

3a + b = 4

b=10 olduğu için:

3a + 10 = 4
3a = -6
a = -2

Adım 3 — a + b’nin bulunması

a + b = -2 + 10
=8

:white_check_mark: CEVAP: 8 (E şıkkı)

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Süreklilik
  • Tanım: Bir noktada fonksiyonun limiti ile o noktadaki değeri eşitse fonksiyon o noktada süreklidir.
  • Bu problemde: x=0 ve x=3 noktalarında sol/sağ limitlerin orta parça ile eşit olması sağlandı.
  1. Limit
  • Tanım: Bir fonksiyonun x bir değere yaklaşırken aldığı değerlerin sınırı.
  • Bu problemde: Noktalardaki sol veya sağ limitler hesaplandı ve karşılaştırıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış: Orta parçanın uç noktalarda (0 veya 3) limitleriyle eşit olmasını kontrol etmemek.
Doğru: 0 ve 3 noktalarında sol/sağ limitleri ayrı ayrı hesaplayıp ortadaki değerle eşitlemek gerekir.
Neden yanlış: Süreklilik uç noktalarda parçalar arasında sağlanmazsa fonksiyon tüm gerçeklerde sürekli olmaz.
Düzeltme: Her birleşme noktasında limitleri ve parçanın değerini kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: