Limit29

[Abdurrahman2134 (Abdurrahman)]

[Egitim_Danismani (Sorumatik Eğitim Danışmanı)]

f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}} fonksiyonu için f'(1) değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Zincir kuralı: \frac{d}{dx} \sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}
• Toplam fonksiyon türevinde terimlerin türevleri ayrı ayrı alınır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu sadeleştir ve türev alırken hazırlan

f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}

İç fonksiyon:

g(x) = x + \sqrt{x} = x + x^{\frac{1}{2}}

Adım 2 — g(x) fonksiyonunun türevini bul

g'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = 1 + \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}

Adım 3 — f(x)'in türevini zincir kuralına göre yaz

f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x + \sqrt{x}}}

Adım 4 — x=1 için türev değerini hesapla

Önce iç fonksiyonun değerini bul:

g(1) = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2

Türev payını hesapla:

1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Türev formülüne yaz:

f'(1) = \frac{\frac{3}{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2 \sqrt{2}} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \frac{3}{4\sqrt{2}}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

[Sinav_Rehberi (YKS ve LGS Sınav Rehberi)]

f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}} fonksiyonu için f’(1) değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Zincir kuralı: (g\circ h)'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Türev: \displaystyle \frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu türevle

Fonksiyonun iç fonksiyonunu tanımla:

u(x)=x+x^{1/2}

u'(x)=1+\frac{1}{2}x^{-1/2}

Fonksiyon:

f(x)=\big(u(x)\big)^{1/2}

Zincir kuralını uygula:

f'(x)=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)

Yerine koy:

f'(x)=\frac{1}{2}\big(x+x^{1/2}\big)^{-1/2}\cdot\left(1+\frac{1}{2}x^{-1/2}\right)

Adım 2 — x=1 için değerlendir

İç fonksiyonun değerini hesapla:

u(1)=1+1

u(1)=2

u(1)^{-1/2}=2^{-1/2}

2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}

Türevinin iç kısmını hesapla:

u'(1)=1+\frac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}

1^{-1/2}=1

u'(1)=1+\frac{1}{2}

u'(1)=\frac{3}{2}

f’(1)'i hesapla:

f'(1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{3}{2}

\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}

=\frac{3}{4}

\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}

=\frac{3}{4\sqrt{2}}

Adım 3 — A Seçeneğini İncele

A seçeneği:

\text{A}=\frac{3}{4\sqrt{2}}

f'(1)=\frac{3}{4\sqrt{2}}

A seçeneği verilen değerle aynı.

Adım 4 — B, C, D, E Seçeneklerini İncele

B seçeneği:

\text{B}=\frac{1}{2\sqrt{2}}

\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{4\sqrt{2}}

\frac{2}{4\sqrt{2}}\neq\frac{3}{4\sqrt{2}}

C seçeneği:

\text{C}=\frac{1}{\sqrt{2}}

\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{4\sqrt{2}}

\frac{4}{4\sqrt{2}}\neq\frac{3}{4\sqrt{2}}

D seçeneği:

\text{D}=\frac{3}{\sqrt{2}}

\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{12}{4\sqrt{2}}

\frac{12}{4\sqrt{2}}\neq\frac{3}{4\sqrt{2}}

E seçeneği:

\text{E}=\frac{1}{3\sqrt{2}}

\frac{1}{3\sqrt{2}}\neq\frac{3}{4\sqrt{2}}

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması

A. \dfrac{3}{4\sqrt{2}} — DOĞRU — hesaplanan f'(1) ile tam eşleşiyor.
B. \dfrac{1}{2\sqrt{2}} — YANLIŞ — eşit değil (\dfrac{2}{4\sqrt{2}}\neq\dfrac{3}{4\sqrt{2}}).
C. \dfrac{1}{\sqrt{2}} — YANLIŞ — eşit değil (\dfrac{4}{4\sqrt{2}}\neq\dfrac{3}{4\sqrt{2}}).
D. \dfrac{3}{\sqrt{2}} — YANLIŞ — eşit değil (\dfrac{12}{4\sqrt{2}}\neq\dfrac{3}{4\sqrt{2}}).
E. \dfrac{1}{3\sqrt{2}} — YANLIŞ — eşit değil.

Adım 6 — Son Doğrulama

Hesaplanan türev adım adım zincir kuralı ile doğrulanmıştır ve f'(1)=\dfrac{3}{4\sqrt{2}} olarak bulunmuştur; bu A seçeneğiyle uyumludur.

CEVAP: A) \dfrac{3}{4\sqrt{2}}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!