Limit20

YKS TYT
1

image
image632×383 25 KB

2

f(x) = \left( 2\sqrt{x} - 1 \right) \cdot \left( x^2 + 3x - 2 \right) fonksiyonunun f'(4) değeri nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Çarpımın türevi: (u \cdot v)' = u'v + uv'
  • Türevi alınırken kök fonksiyonun türev formülü: \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu tanımla ve bileşenlere ayır:

u = 2\sqrt{x} - 1
v = x^2 + 3x - 2

Adım 2 — u ve v’nin türevlerini hesapla:

u' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - 1) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 0 = \frac{1}{\sqrt{x}}

v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 2) = 2x + 3

Adım 3 — Çarpımın türev formülünü uygula:

f'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{\sqrt{x}} (x^2 + 3x - 2) + (2\sqrt{x} - 1)(2x + 3)

Adım 4 — x = 4 için değerleri yerine koy:

\sqrt{4} = 2

u' = \frac{1}{2} = 0.5

v = 4^2 + 3 \cdot 4 - 2 = 16 + 12 - 2 = 26

u = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3

v' = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11

Adım 5 — Türev değerini hesapla:

f'(4) = (0.5)(26) + (3)(11) = 13 + 33 = 46

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 46
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f(x) = (2√x − 1)·(x^2 + 3x − 2) olduğuna göre f’(4) kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Çarpım Kuralı: (uv)' = u'v + uv'
Güç Kuralı (kök için): \dfrac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1}, özellikle \dfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Terimleri belirle
Fonksiyonu iki terim olarak ele alalım:
Birinci terim: u(x)=2\sqrt{x}-1

u(x)=2x^{1/2}-1

İkinci terim: v(x)=x^{2}+3x-2

v(x)=x^{2}+3x-2

Adım 2 — Birinci terimin türevi (u’(x))

Tanım: u(x)=2x^{1/2}-1

\dfrac{d}{dx}\big(2x^{1/2}-1\big)
=2\cdot \dfrac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big) - \dfrac{d}{dx}(1)
=2\cdot \dfrac{1}{2}x^{-1/2} - 0
=x^{-1/2}
=\dfrac{1}{\sqrt{x}}

Adım 3 — İkinci terimin türevi (v’(x))

Tanım: v(x)=x^{2}+3x-2

\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}+3x-2\big)
=\dfrac{d}{dx}(x^{2}) + \dfrac{d}{dx}(3x) - \dfrac{d}{dx}(2)
=2x + 3 - 0
=2x+3

Adım 4 — Çarpım kuralını uygulama ve x=4 için değerlendirme

Tanım: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\big(x^{2}+3x-2\big) + \big(2\sqrt{x}-1\big)\big(2x+3\big)

Şimdi x=4 için ara değerleri hesaplayalım.

Birinci ara değer:

u(4)=2\sqrt{4}-1
=2\cdot 2 - 1
=4-1
=3

İkinci ara değer:

u'(4)=\dfrac{1}{\sqrt{4}}
=\dfrac{1}{2}

Üçüncü ara değer:

v(4)=4^{2}+3\cdot 4 - 2
=16 + 12 - 2
=26

Dördüncü ara değer:

v'(4)=2\cdot 4 + 3
=8 + 3
=11

Adım 5 — f’(4) hesaplama

f'(4)=u'(4)\,v(4) + u(4)\,v'(4)
=\dfrac{1}{2}\cdot 26 + 3\cdot 11
=13 + 33
=46

:white_check_mark: CEVAP: 46

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Çarpım Kuralı
  • Tanım: İki fonksiyonun çarpımının türevi u'v + uv' şeklindedir.
  • Bu problemde: u(x)=2\sqrt{x}-1 ve v(x)=x^{2}+3x-2 için uygulandı.
  1. Güç Kuralı / Kök türevi
  • Tanım: x^{n} türevi n x^{n-1} dir; özellikle \sqrt{x}=x^{1/2} için türev \dfrac{1}{2\sqrt{x}} olur.
  • Bu problemde: 2\sqrt{x} ifadesinin türevi 2\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} olarak kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökün türevini yanlış almak

  • Yanlış: \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}= \dfrac{1}{\sqrt{x}} (eksik 1/2 faktörü unutuluyor)
  • Doğru: \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
  • Neden yanlış: Kökü x^{1/2} olarak yazıp güç kuralını uygulamak gerekiyor.
  • Düzeltme: Önce x^{1/2} yaz, sonra 1/2 katsayısını hesaba kat.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?