Limit2

YKS Basic Proficiency Test
1

image
image553×361 26.4 KB

2

\lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 0} f(x) ifadesinin değeri nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Fonksiyonun limitini hesaplarken, x değerine göre uygun fonksiyon parçası seçilir.
  • Limit değeri, limit gidilen noktaya sağdan ve soldan yaklaşımda aynıysa vardır.
  • Limitlerin toplamı, limitlerin ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — \lim_{x \to 3} f(x) hesapla

  • x \to 3 için 3 > 2 olduğu için fonksiyonun bu noktadaki değeri x^2 + 1 şeklindedir.
  • O halde:
\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 + 1) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10

Adım 2 — \lim_{x \to 0} f(x) hesapla

  • x \to 0 için 0 \leq 2 olduğu için fonksiyonun bu noktadaki değeri x - 3 şeklindedir.
  • O halde:
\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x - 3) = 0 - 3 = -3

Adım 3 — Limitlerin toplamını bul

\lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 0} f(x) = 10 + (-3) = 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,& x>2\\[4pt]x-3,& x\le 2\end{cases} olduğuna göre, \displaystyle \lim_{x\to3} f(x)+\lim_{x\to0} f(x) ifadesinin değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Süreklilik ve limitlerin cebiri: bir noktada fonksiyonun bağlı olduğu parçanın ifadesi sürekli ise doğrudan yerine koyma ile limit alınır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci limit (x\to3)

\displaystyle \lim_{x\to3} f(x)

= \displaystyle \lim_{x\to3} (x^{2}+1)

= \displaystyle 3^{2}+1

= \displaystyle 9+1

= \displaystyle 10

Adım 2 — İkinci limit (x\to0)

\displaystyle \lim_{x\to0} f(x)

= \displaystyle \lim_{x\to0} (x-3)

= \displaystyle 0-3

= \displaystyle -3

Adım 3 — Limitlerin toplamı

\displaystyle \lim_{x\to3} f(x)+\lim_{x\to0} f(x)

= \displaystyle 10+(-3)

= \displaystyle 7

:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle 7

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Parça başına tanımlı fonksiyon
  • Tanım: Farklı x aralıklarında farklı uç değerler kullanan fonksiyon.
  • Bu problemde: x=3 için üst parça, x=0 için alt parça kullanıldı.
  1. Süreklilik
  • Tanım: Bir fonksiyonun limitinin ve fonksiyon değerinin eşit olması durumu.
  • Bu problemde: Polinom ve lineer ifadeler her noktada süreklidir; bu yüzden yerine koyma ile limit alındı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış parça seçimi

  • Yanlış: Tüm limitler için aynı parçayı kullanmak.
  • Doğru: Limit alınacak noktaya göre (3 için x>2, 0 için x\le2) doğru parçayı seçmek.
  • Neden yanlış: Parçalar farklı ifadeler içerir; yanlış parça yanlış sonuç verir.
  • Düzeltme: Her limit için noktanın hangi aralığa düştüğünü kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?