Limit19

YKS TYT
1

image
image657×351 34.3 KB

2

f(x) = (x^2 + 7) \cdot (x^2 - 5) fonksiyonunun türevi nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Çarpımın türevi kuralı:

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonları belirle
f(x) = x^2 + 7 ve g(x) = x^2 - 5

Adım 2 — Her fonksiyonun türevini al
f'(x) = 2x
g'(x) = 2x

Adım 3 — Çarpımın türev formülünü uygula

f'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
= 2x \cdot (x^2 - 5) + (x^2 + 7) \cdot 2x

Adım 4 — Aç ve sadeleştir

= 2x(x^2 - 5) + 2x(x^2 + 7)
= 2x^3 - 10x + 2x^3 + 14x
= (2x^3 + 2x^3) + (-10x + 14x) = 4x^3 + 4x

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) 4x^3 + 4x
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

f(x) = (x^2 + 7) · (x^2 − 5) olduğuna göre, f’(x) aşağıdakilerden hangisidir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Ürün kuralı: (uv)' = u'v + uv'

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonu ve türevleri tanımla

Fonksiyonun parçalarını alalım:

u = x^2 + 7
v = x^2 - 5

Her birinin türevini alalım:

u' = 2x
v' = 2x

Adım 2 — Ürün kuralını uygula (kurulum)

f'(x) = u'v + uv'

Adım 3 — Birinci terimi hesapla

Birinci terim:

u'v = 2x \cdot (x^2 - 5)
= 2x \cdot x^2 - 2x \cdot 5
= 2x^3 - 10x

Adım 4 — İkinci terimi hesapla

İkinci terim:

uv' = (x^2 + 7) \cdot 2x
= x^2 \cdot 2x + 7 \cdot 2x
= 2x^3 + 14x

Adım 5 — Terimleri topla ve sadeleştir

f'(x) = (2x^3 - 10x) + (2x^3 + 14x)
= 2x^3 + 2x^3 - 10x + 14x
= 4x^3 + 4x

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ürün kuralı

  • Tanım: İki fonksiyonun çarpımının türevi, birinin türevi ile diğerinin çarpımının toplamıdır.
  • Bu problemde: u'v + uv' formu doğrudan uygulandı.

2. Dağıtma (lineerlik)

  • Tanım: Çarpım içindeki terimler ayrı ayrı dağıtılıp toplandı.
  • Bu problemde: 2x(x^2-5) ve (x^2+7)2x ayrı ayrı açıldı ve toplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sabit terimlerin türevini unutmak

  • Yanlış: Sabitleri türev alırken göz ardı etmek veya yanlış işlemek.
  • Doğru: Sabitlerin türevi sıfırdır; burada sabitler iç terimlerde kaldı ama çarpımın içinde x ile çarpıldıklarında etkileri oldu.
  • Neden yanlış: Sabitlerin türevi alınmazsa sonuç eksik olur.
  • Düzeltme: Her terimi ayrı ayrı türevle ve sonra toplama yap.

:white_check_mark: CEVAP: 4x^3 + 4x (E şıkkı)

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: