Limit18

YKS TYT
1

image
image640×215 20.8 KB

2

f(x) = ax^3 + 2x^2 + 4x + 1 fonksiyonu için, f(1) + f'(1) = 27 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Fonksiyonun türevi alınır: f'(x)
  • Fonksiyon ve fonksiyonun türevi x = 1 'de hesaplanır.
  • Verilen toplam eşitlik kullanılarak a bulunur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyon ve türevini yaz:
f(x) = ax^3 + 2x^2 + 4x + 1

Türev alalım:

f'(x) = 3ax^2 + 4x + 4

Adım 2 — f(1) ve f'(1) 'i hesapla:

f(1) = a \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 1 = a + 2 + 4 + 1 = a + 7
f'(1) = 3a \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 4 = 3a + 4 + 4 = 3a + 8

Adım 3 — Verilen eşitliği kullan:

f(1) + f'(1) = 27
(a + 7) + (3a + 8) = 27
4a + 15 = 27
4a = 12
a = 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: a = 3

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

f(x) = a x^3 + 2x^2 + 4x + 1 olmak üzere, f(1) + f’(1) = 27 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Polinomun türevi: \frac{d}{dx}(c x^n) = c \cdot n x^{n-1}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevünü hesapla

Birinci terim:

\frac{d}{dx}\big(a x^3\big)
= a \cdot \frac{d}{dx}(x^3)
= a \cdot 3x^2
= 3a x^2

İkinci terim:

\frac{d}{dx}\big(2x^2\big)
= 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2)
= 2 \cdot 2x
= 4x

Üçüncü terim:

\frac{d}{dx}\big(4x\big)
= 4

Dördüncü terim:

\frac{d}{dx}(1)
= 0

Sonuç:

f'(x)=3a x^2 + 4x + 4

Adım 2 — f(1) ve f’(1) hesapla

Birinci terim: f(1) için hazırlık:

f(1)=a\cdot 1^3 + 2\cdot 1^2 + 4\cdot 1 + 1
= a + 2 + 4 + 1
= a + 7

İkinci terim: f'(1) için hazırlık:

f'(1)=3a\cdot 1^2 + 4\cdot 1 + 4
= 3a + 4 + 4
= 3a + 8

Adım 3 — Denklemi kur ve çöz

Hazır ifadeleri topla:

f(1)+f'(1)=(a+7)+(3a+8)
= a + 7 + 3a + 8
= 4a + 15

Eşitliği kullan:

4a + 15 = 27
4a = 27 - 15
4a = 12
a = \frac{12}{4}
a = 3

:white_check_mark: CEVAP: a = 3

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun değişim hızını veren işlemdir.
  • Bu problemde: Polinom terimlerinin kat sayıları ile üslerinin çarpımı alınarak türev bulundu.
  1. Fonksiyon değerleri
  • Tanım: Fonksiyonun bir noktadaki değeri f(x).
  • Bu problemde: x=1 için hem f(1) hem f'(1) hesaplandı ve toplandı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Terimleri birleştirirken katsayıları yanlış toplamak

  • Yanlış: a + 3a = a
  • Doğru: a + 3a = 4a
  • Neden yanlış: Katsayıların toplanması unutuluyor veya eksik yapılıyor.
  • Düzeltme: Her terimin katsayısını ayrı hesaplayıp sonra toplayın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: