Limit17

YKS TYT
1

image
image671×371 32.8 KB

2

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1 fonksiyonu için

\lim_{h \to 0} \frac{f(h-1) - f(-1)}{h} \text{ işleminin sonucu nedir?}

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bu limit, f(x) fonksiyonunun x = -1 noktasındaki türevini ifade eder. Yani:

\lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h} = f'(-1)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — f(x) fonksiyonunun türevini bul:

f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 1
f'(x) = 3x^2 - 4x + 4

Adım 2 — Türevi x = -1 noktasında hesapla:

f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) + 4 = 3(1) + 4 + 4 = 3 + 4 + 4 = 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \boxed{11}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu f(x)=x^3-2x^2+4x+1 olduğuna göre \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h-1)-f(-1)}{h} işleminin sonucu nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Türev tanımı:

\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

AÇIKLAMA: İfade f(h-1)-f(-1) biçiminde olduğundan h-1=(-1)+h yazılabilir; bu nedenle limit f'(-1) ile eşdeğerdir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadenin türev biçimine dönüşümü

Kurulum:

\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h-1)-f(-1)}{h}

= (çünkü h-1=(-1)+h)

\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}

= (türev tanımı gereği)

f'(-1)

Adım 2 — Fonksiyonun türevinin bulunması

Kurulum:

f(x)=x^3-2x^2+4x+1

Birinci terim:

\frac{d}{dx}x^3
=3x^2

İkinci terim:

\frac{d}{dx}(-2x^2)
=-2\cdot 2x
=-4x

Üçüncü terim:

\frac{d}{dx}(4x)
=4

Dördüncü terim:

\frac{d}{dx}(1)
=0

Toparlama:

f'(x)
=3x^2-4x+4

Adım 3 — x=-1 için türevin değerlendirilmesi

Kurulum:

f'(-1)
=3(-1)^2-4(-1)+4
=3\cdot 1-4(-1)+4
=3+4+4
=11

:white_check_mark: CEVAP: 11

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki değişim hızını veren limit.
  • Bu problemde: Verilen ifade doğrudan türev tanımına uygundur; a=-1 alınarak türev hesaplanır.
  1. Limit
  • Tanım: Bir değişken belirli bir değere yaklaşırken ifadenin davranışı.
  • Bu problemde: h\to0 iken fark bölümünün limiti türev değerine eşittir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hata: İfadayı doğrudan f(h-1) şeklinde açıp h yerine 0 koymaya çalışma

  • Yanlış: f(h-1)-f(-1) ifadesinde h=0 konursa pay sıfır olur ama bölücü de sıfır olur; bu doğrudan sonuca götürmez.
  • Doğru: İfadayı türev tanımına çevirerek a=-1 için türev hesaplanmalıdır.
  • Neden yanlış: Limit işlemi doğrudan yerine koyma ile yapılamaz; belirsiz form söz konusudur.
  • Düzeltme: İfadayı \frac{f(a+h)-f(a)}{h} biçimine getirin ve türevi hesaplayın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?