Limit11

YKS TYT
1

image
image584×469 44.4 KB

2

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu için verilen limitler kullanılarak ifade değerini bulunuz

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit tanımı ve fonksiyonun sağdan ve soldan limit değerlerinin kullanımı.
  • Limitlerin birleşimi: Fonksiyonun limitleri farklı yönlerden verildiğinde, ilgili limit değeri hangi taraftan yaklaşıldığına göre seçilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen limit değerlerini belirle

  • \lim_{x \to 4^-} f(x) = -4
  • \lim_{x \to 4^+} f(x) = 2

Adım 2 — Limit ifadesindeki x \to 2^- yaklaşımını incele

İfade:

\lim_{x \to 2^-} \frac{f(3x - 2) - f(6 - x)}{f(x^2)}

Burada, x \to 2^- yani x değeri 2’ye soldan yani 2’den küçük değerlerden yaklaşıyor.

Adım 3 — Fonksiyonların içindeki ifadelerin limitini bulun

  • 3x - 2 için x \to 2^-
3(2^-) - 2 = 6 - 2 = 4^-

Yani 3x - 2 ifadesi 4’e sol taraftan yaklaşıyor.

  • 6 - x için x \to 2^-
6 - 2^- = 4^+

Yani 6 - x ifadesi 4’e sağ taraftan yaklaşıyor.

  • x^2 için x \to 2^-
(2^-)^2 = 4^-

Adım 4 — Bu limitleri fonksiyonun limit değerlerine uygulayın

  • f(3x - 2) \to f(4^-) = -4
  • f(6 - x) \to f(4^+) = 2
  • f(x^2) \to f(4^-) = -4

Adım 5 — İfade yerine koy

\lim_{x \to 2^-} \frac{f(3x - 2) - f(6 - x)}{f(x^2)} = \frac{-4 - 2}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{3}{2}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu için

lim_{x\to 4^-} f(x) = -4, lim_{x\to 4^+} f(x) = 2 olduğuna göre,
lim_{x\to 2^-} \frac{f(3x-2)-f(6-x)}{f(x^2)} ifadesinin değeri kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bileşke fonksiyonlarda limit: Eğer iç fonksiyon x→a iken t→b oluyorsa, dış fonksiyonun limiti \lim_{x\to a} f(g(x))=\lim_{t\to b} f(t) ile bulunur; kenar limitlere dikkat edin.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci terim: \lim_{x\to 2^-} f(3x-2)
Birinci terim:

\lim_{x\to 2^-} f(3x-2)
\lim_{x\to 2^-} (3x-2) = 4
\text{(x<2 ⇒ 3x-2<4) bu yüzden }3x-2 \to 4^-
\Rightarrow \lim_{x\to 2^-} f(3x-2) = \lim_{t\to 4^-} f(t) = -4

Adım 2 — İkinci terim: \lim_{x\to 2^-} f(6-x)
İkinci terim:

\lim_{x\to 2^-} f(6-x)
\lim_{x\to 2^-} (6-x) = 4
\text{(x<2 ⇒ 6-x>4) bu yüzden }6-x \to 4^+
\Rightarrow \lim_{x\to 2^-} f(6-x) = \lim_{t\to 4^+} f(t) = 2

Adım 3 — Payın limiti
Pay:

\lim_{x\to 2^-}\big(f(3x-2)-f(6-x)\big)
= (-4) - 2
= -6

Adım 4 — Paydanın limiti: \lim_{x\to 2^-} f(x^2)
Payda:

\lim_{x\to 2^-} f(x^2)
\lim_{x\to 2^-} x^2 = 4
\text{(x yakın ve }<2\text{ ⇒ }x^2<4)\text{, yani }x^2\to 4^-
\Rightarrow \lim_{x\to 2^-} f(x^2) = \lim_{t\to 4^-} f(t) = -4

Adım 5 — Tüm ifadenin limiti
Tüm limit:

\lim_{x\to 2^-} \frac{f(3x-2)-f(6-x)}{f(x^2)}
= \frac{-6}{-4}
= \frac{3}{2}

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Kenarlimit (sol/sağ limit)
  • Tanım: Bir noktanın solundan veya sağından yaklaşırken fonksiyonun değeri.
  • Bu problemde: 3x-2, 6-x ve x^2 ifadeleri 4’e farklı yönlerden yaklaştıkları için sol/sağ limitler kullanıldı.
  1. Bileşke fonksiyonlarda limit alma
  • Tanım: İç fonksiyonun limitine bakıp dış fonksiyonun ilgili yönden limitini kullanmak gerekir.
  • Bu problemde: İç ifadelerin hangi taraftan 4’e yaklaştığı belirlenip verilen f limitleri kullanıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kenar yönünü karıştırmak

  • Yanlış: 6-x için x→2^- iken 6-x → 4^- alınması.
  • Doğru: x→2^- iken 6-x → 4^+ olur.
  • Neden yanlış: x<2 ise 6-x>4 olur; yön önemlidir.
  • Düzeltme: İç ifadeyi x=2-ε ile test edin.

:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{3}{2}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?