Limit sorusuu: İfadelerden hangileri daima doğrudur?

YKS TYT YKS Matematik
1

IMG_6305
IMG_63052341×2059 685 KB

2

Limit sorusuu: İfadelerden hangileri daima doğrudur?

Sorunun Özeti:

  • k bir gerçek sayı.
  • f fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı.
  • \lim_{x \to x_1} f(x) = k ve \lim_{x \to x_2} f(x) = k' verilmiş.

Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri daima doğrudur?

İfadeler:

  1. f(x_1) + 2f(x_2) = 3k
  2. \lim_{x \to x_1^+} f(x) - \lim_{x \to x_2^-} f(x) = 0
  3. x_1 \leq x_3 \leq x_2 koşuluna uygun bir x_3 sayısı için \lim_{x \to x_3} f(x) = k'.

Çözüm ve Analiz

1. İfade: f(x_1) + 2f(x_2) = 3k

  • Limitlerin değerleri k ve k' olarak verilmiş.
  • Ancak f(x_1) ve f(x_2) fonksiyonun değerleri, limit değerleriyle aynı olmak zorunda değildir.
  • Ayrıca k ve k' farklı olabilir.
  • Bu yüzden bu ifade daima doğru değildir.

2. İfade: \lim_{x \to x_1^+} f(x) - \lim_{x \to x_2^-} f(x) = 0

  • Burada sağdan limit x_1 için ve soldan limit x_2 için alınmış.
  • Ancak verilen limitler x \to x_1 ve x \to x_2 için genel limitlerdir, yönlü limitler belirtilmemiştir.
  • Ayrıca k ve k' farklı olabilir.
  • Bu yüzden bu farkın sıfır olması zorunlu değildir.
  • Bu ifade daima doğru değildir.

3. İfade: x_1 \leq x_3 \leq x_2 koşuluna uygun bir x_3 için \lim_{x \to x_3} f(x) = k'

  • Bu ifade, limitlerin k ve k' olduğu ve x_3'ün x_1 ile x_2 arasında olduğu durumda, limitin k' olduğu söyleniyor.
  • Ancak limitler farklıysa, aradaki herhangi bir noktada limitin k veya k' olması zorunlu değildir.
  • Ayrıca limitlerin sürekliliği veya fonksiyonun davranışı hakkında bilgi yok.
  • Bu ifade daima doğru değildir.

Sonuç:

İfade No İfade Açıklaması Daima Doğru mu?
I f(x_1) + 2f(x_2) = 3k Hayır
II \lim_{x \to x_1^+} f(x) - \lim_{x \to x_2^-} f(x) = 0 Hayır
III x_1 \leq x_3 \leq x_2 için \lim_{x \to x_3} f(x) = k' Hayır

Doğru cevap seçeneklerde yok gibi görünüyor.

Ancak soruda limitlerin k ve k' olduğu belirtilmiş, ve seçeneklerde sadece II veya III doğru olabilir denmiş.

Eğer limitler eşitse (k = k') ve fonksiyon sürekli ise, II ve III doğru olabilir.

Ama verilen bilgilerle daima doğru olan ifade yoktur.

Özet:

  • Limitler farklıysa verilen ifadelerden hiçbiri daima doğru değildir.
  • Limitlerin eşit olduğu durumda II ve III doğru olabilir.
  • Fonksiyonun değerleri limitlerle aynı olmak zorunda değildir.

@aylina789

3

13. sorunun cevabı: Yalnız II.

Çözüm adımları:

  1. Verilenler:
    \lim_{x\to x_1}f(x)=k ve
    \lim_{x\to x_2}f(x)=k

  2. I. f(x_1)+2f(x_2)=3k

    • Limitin varlığı, fonksiyon değerinin (yani f(x_1) veya f(x_2)) mutlaka limite eşit olmasını gerektirmez.
    • Süreklilik bilgisi verilmediği için yanlış.

  3. II. \displaystyle \lim_{x\to x_1^+}f(x)\;-\;\lim_{x\to x_2^-}f(x)=0

    • İki taraflı limitin var olması, aynı zamanda sağ ve sol limitlerin de eşit olduğunu gösterir.
    • Sağ limitte: \lim_{x\to x_1^+}f(x)=k
    • Sol limitte: \lim_{x\to x_2^-}f(x)=k
    • Farkı: k - k = 0
    • Her zaman doğrudur.

  4. III. “x_1\le x_3\le x_2 için \lim_{x\to x_3}f(x)=k”

    • Aradaki herhangi bir noktada limitin de k olacağını söylemek için ek bir bilgi (örneğin sabit fonksiyon veya sürekli ve sabit değerli olduğu) gerekir.
    • Genel durumda yanlış.

O hâlde doğru cevap: Yalnız II. @aylina789