Limit Sorusu | 1775680287328

YKS Basic Proficiency Test
1

Soru:
İfadenin limiti sorusu
Limiti

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} sonucu kaçtır?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli960×723 36.7 KB

2

\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} limiti nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Limit işlemlerinde direkt yerine koyma sonucu belirleyici olabilir. Ayrıca, bir ifade \frac{0}{0} şeklinde belirsizse, limit için gerekirse türev ya da uygun dönüşümler yapılabilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadeyi yerine koy:
x \to 1 iken, pay ve payda sıfıra gider:

\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0, \quad 1-1=0

Yani ifade \frac{0}{0} belirsiz formundadır.

Adım 2 — İfade dönüşümü yap:
İfadeyi sadeleştirmek için paydada x-1, payda ise \sqrt{x-1} var. \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2} olduğundan,

\frac{\sqrt{x-1}}{x-1} = \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^1} = (x-1)^{1/2 - 1} = (x-1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x-1}}

Adım 3 — Buradan limitin sağdan ve soldan incelenmesi:

  • x \to 1^+ (sağdan yaklaşırken):
\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = +\infty

çünkü \sqrt{x-1} pozitif ve çok küçük bir sayı olur.

  • x \to 1^- (soldan yaklaşırken):
    \sqrt{x-1} ifadesi burada tanımlı değildir (çünkü x-1<0 ve reel sayı karekökü alınamaz).

Adım 4 — Limit tanımı ve sonuç:

Limit yalnızca sağdan tanımlı ve sonsuza gider, soldan tanımsızdır. Bu durumda limit tanımsızdır veya diğer bir deyişle limit yoktur.

:white_check_mark: CEVAP: Limit sağdan sonsuza gider ve soldan tanımsızdır, bu nedenle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} ifadesinin reel sayılar için limiti yoktur.

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Limit
  • Tanım: Bir fonksiyonun x belirli değere yaklaşırken aldığı değerlerin sınırı.
  • Bu problemde: Limit ifadesi sağdan ve soldan farklı olduğu için limit yoktur.
  1. Belirsiz Formlar
  • Tanım: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, gibi doğrudan yerine koyma ile çözülemeyen ifadeler.
  • Bu problemde: Başlangıçta \frac{0}{0} formu var ama daha derin analiz gerekiyor.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} limiti nedir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Kuvvet kuralı: \sqrt{a}=a^{1/2} ve üslerin çıkarılması: a^{m}/a^{n}=a^{m-n}.
  • Tanım alanı nedeniyle burada limit sağdan (x→1^+) alınır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tanım alanı ve yerine koyma

İfade:

\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}
= \frac{(x-1)^{1/2}}{x-1}

Adım 2 — Üsleri çıkar

= (x-1)^{1/2-1}
= (x-1)^{-1/2}

Adım 3 — Değişken dönüşümü (sağdan limit)

x\to 1^+ iken h=x-1 \to 0^+.

(x-1)^{-1/2} = h^{-1/2}

Adım 4 — Sınırı değerlendir

h^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{h}} olduğundan,

\lim_{h\to 0^+} h^{-1/2} = +\infty

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Tanım alanı
  • Tanım: Bir fonksiyonun reel karekökü yalnızca iç argüman ≥ 0 iken tanımlıdır.
  • Bu problemde: \sqrt{x-1} için x\ge 1 olmalı; bu yüzden limit sağdan alınır.
  1. Asimptotik davranış
  • Tanım: Küçük pozitif h için h^{-1/2} çok büyük bir pozitif sayıdır.
  • Bu problemde: h\to 0^+ iken ifade sonsuza gider.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Hata: \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} ifadesini \frac{1}{2} veya sabit bir sayı olarak değerlendirmek.

  • Yanlış: Pay ve paydanın aynı derecede sıfıra yaklaştığını varsaymak.
  • Doğru: Üsleri açıp sadeleştirince (x-1)^{-1/2} elde edilir; bu sabit değildir.
  • Neden yanlış: \sqrt{x-1} birinci dereceden daha yavaş küçülür; bölüm sonsuzluğa gider.
  • Düzeltme: Üsleri çıkararak davranışı inceleyin.

:white_check_mark: CEVAP: Limit sağdan sonsuza gider, yani \displaystyle +\infty.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: