Soru:
İfadenin limiti sorusu
Limiti
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} sonucu kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} limiti nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Limit işlemlerinde direkt yerine koyma sonucu belirleyici olabilir. Ayrıca, bir ifade \frac{0}{0} şeklinde belirsizse, limit için gerekirse türev ya da uygun dönüşümler yapılabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi yerine koy:
x \to 1 iken, pay ve payda sıfıra gider:
\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0, \quad 1-1=0
Yani ifade \frac{0}{0} belirsiz formundadır.
Adım 2 — İfade dönüşümü yap:
İfadeyi sadeleştirmek için paydada x-1, payda ise \sqrt{x-1} var. \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2} olduğundan,
\frac{\sqrt{x-1}}{x-1} = \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^1} = (x-1)^{1/2 - 1} = (x-1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x-1}}
Adım 3 — Buradan limitin sağdan ve soldan incelenmesi:
- x \to 1^+ (sağdan yaklaşırken):
\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = +\infty
çünkü \sqrt{x-1} pozitif ve çok küçük bir sayı olur.
- x \to 1^- (soldan yaklaşırken):
\sqrt{x-1} ifadesi burada tanımlı değildir (çünkü x-1<0 ve reel sayı karekökü alınamaz).
Adım 4 — Limit tanımı ve sonuç:
Limit yalnızca sağdan tanımlı ve sonsuza gider, soldan tanımsızdır. Bu durumda limit tanımsızdır veya diğer bir deyişle limit yoktur.
CEVAP: Limit sağdan sonsuza gider ve soldan tanımsızdır, bu nedenle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} ifadesinin reel sayılar için limiti yoktur.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Limit
- Tanım: Bir fonksiyonun x belirli değere yaklaşırken aldığı değerlerin sınırı.
- Bu problemde: Limit ifadesi sağdan ve soldan farklı olduğu için limit yoktur.
- Belirsiz Formlar
- Tanım: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, gibi doğrudan yerine koyma ile çözülemeyen ifadeler.
- Bu problemde: Başlangıçta \frac{0}{0} formu var ama daha derin analiz gerekiyor.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} limiti nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kuvvet kuralı: \sqrt{a}=a^{1/2} ve üslerin çıkarılması: a^{m}/a^{n}=a^{m-n}.
- Tanım alanı nedeniyle burada limit sağdan (x→1^+) alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım alanı ve yerine koyma
İfade:
\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}
= \frac{(x-1)^{1/2}}{x-1}
Adım 2 — Üsleri çıkar
= (x-1)^{1/2-1}
= (x-1)^{-1/2}
Adım 3 — Değişken dönüşümü (sağdan limit)
x\to 1^+ iken h=x-1 \to 0^+.
(x-1)^{-1/2} = h^{-1/2}
Adım 4 — Sınırı değerlendir
h^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{h}} olduğundan,
\lim_{h\to 0^+} h^{-1/2} = +\infty
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tanım alanı
- Tanım: Bir fonksiyonun reel karekökü yalnızca iç argüman ≥ 0 iken tanımlıdır.
- Bu problemde: \sqrt{x-1} için x\ge 1 olmalı; bu yüzden limit sağdan alınır.
- Asimptotik davranış
- Tanım: Küçük pozitif h için h^{-1/2} çok büyük bir pozitif sayıdır.
- Bu problemde: h\to 0^+ iken ifade sonsuza gider.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} ifadesini \frac{1}{2} veya sabit bir sayı olarak değerlendirmek.
- Yanlış: Pay ve paydanın aynı derecede sıfıra yaklaştığını varsaymak.
- Doğru: Üsleri açıp sadeleştirince (x-1)^{-1/2} elde edilir; bu sabit değildir.
- Neden yanlış: \sqrt{x-1} birinci dereceden daha yavaş küçülür; bölüm sonsuzluğa gider.
- Düzeltme: Üsleri çıkararak davranışı inceleyin.
CEVAP: Limit sağdan sonsuza gider, yani \displaystyle +\infty.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!