Limit Sorusu | 1775679343391

YKS Basic Proficiency Test
1

Soru:
Limit Sorusu
li

m_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}

limiti’nin sonucu kaçtır?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli960×723 32.9 KB

2

\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} limiti’nin sonucu kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Faktörleme yöntemi ile pay ve paydanın sadeleştirilmesi.
  • Limit fonksiyonun tanımsız olduğu noktada belirsizlik oluşursa, fonksiyonu sadeleştirerek limit alınır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Belirsizlik Kontrolü
x = -2 yerine koyarsak:
Payda: -2 + 2 = 0
Pay: (-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0
Pay ve payda sıfır olduğu için belirsizlik \frac{0}{0} türündedir.

Adım 2 — Payı Faktörleme
Küpler farkı/küp toplamı formülüne göre:
x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Adım 3 — Sadeleştirme

\frac{x^3 + 8}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = x^2 - 2x + 4 \quad (x \neq -2)

Adım 4 — Limit Alma

\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 12

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} limitinin sonucu kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Kural: $$x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2)$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Limit ifadesi

\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}

Adım 2 — Paydaki ve paydaki ifadeyi açma / sadeleştirme

x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
\frac{x^3 + 8}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2}
= x^2 - 2x + 4 \qquad (x \ne -2)

Adım 3 — Limit değerini hesaplama

\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4)
= (-2)^2 - 2\cdot(-2) + 4
(-2)^2 = 4
-2\cdot(-2) = 4
4 + 4 + 4
= 12

:white_check_mark: CEVAP: 12

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Kaldırılabilir kopukluk
  • Tanım: Pay ve paydayı ortak çarpan olarak bulup sadeleştirdiğimizde oluşan, x = a noktasında tanımsız olup limitin var olduğu durum.
  • Bu problemde: x+2 ortak çarpan olarak çıktı ve sadeleştirme sonrası limit kolayca hesaplandı.
  1. Küp toplamı ayrıştırması
  • Tanım: x^3 + a^3 ifadesi (x+a)(x^2 - ax + a^2) olarak yazılabilir.
  • Bu problemde: x^3+8 ifadesi a=2 alınarak ayrıştırıldı.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sadeleştirmeyi unutma

  • Yanlış: Doğrudan x = -2 koyup 0/0 belirsizliğiyle karşılaşıp işlemi bırakmak.
  • Doğru: Polinomları çarpanlara ayırıp ortak çarpanı sadeleştirmek.
  • Neden yanlış: 0/0 belirsizliği doğrudan sonucun 0 olduğunu göstermez.
  • Düzeltme: Payı çarpanlarına ayır ve sadeleştir, sonra yerine koy.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: