Limit Sorusu | 1775678735051

YKS Basic Proficiency Test
1

Soru:
Limit sorusu
li

m_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} Limitinin sonucu kaçtır?

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli928×525 24.7 KB

2

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} limitinin sonucu kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Limit hesaplamasında faktörleme ve belirsiz form durumlarını yönetme.
  • \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} ve f(a) = g(a) = 0 ise ifadeyi sadeleştirerek limiti hesaplarız.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadeyi Faktörle

Payı x^2 - 1 farkın karesi olarak yazalım:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Adım 2 — İfadeyi Sadeleştir

\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

Burada x \neq 1 için x-1 leri sadeleştirebiliriz:

= x + 1

Adım 3 — Limiti Hesapla

Şimdi, orijinal limit ifadesi x \to 1 için:

\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 2

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Belirsiz Form

  • Tanım: Limit hesaplamasında pay ve paydanın aynı anda 0 olması.
  • Bu problemde: x = 1 için hem pay hem payda 0, bu nedenle sadeleştirme yapıldı.

2. Limitte Sadeleştirme

  • Tanım: Limit ifadesinde faktörleri açarak belirsizliği giderme.
  • Bu problemde: Pay ve paydada ortak çarpan (x-1) vardı, sadeleştirildi.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} limitinin sonucu kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Farkların karesi: x^2-1=(x-1)(x+1) ve sürekli fonksiyonlarda sınırda yerine koyma.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadenin yazılması

\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}

Adım 2 — İfadenin sadeleştirilmesi (faktörleme)

\frac{x^2-1}{x-1}
= \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}
= x+1 \quad (x\neq 1)

Adım 3 — Limiti hesaplama (yerine koyma)

\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}
= \lim_{x \to 1} (x+1)
= 1 + 1
= 2

:white_check_mark: CEVAP: 2

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Farkların karesi
  • Tanım: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
  • Bu problemde: x^2-1=(x-1)(x+1) şeklinde faktörlendi ve sadeleştirildi.
  1. Sürekli fonksiyonlarda yerine koyma
  • Tanım: Eğer fonksiyon limit noktasında tanımlı ve süreklilik sağlanıyorsa, limite değişken yerine nokta değeri yazılabilir.
  • Bu problemde: Sadeleştirme sonrası x+1 sürekli olduğundan x=1 doğrudan yerine koyuldu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Payda sıfırda kalacak sanmak

  • Yanlış: Doğrudan x=1 yazıp 0/0 deyip sonuca ulaşamamak.
  • Doğru: İfadeyi faktörleyip sadeleştirmek.
  • Neden yanlış: Doğrudan yerine koyma belirsiz form verir; cebirsel sadeleştirme gerekir.
  • Düzeltme: x^2-1 faktörlenir ve x-1 ile sadeleştirilir.

Not: Payda x=1 için sıfır olduğundan önce faktörleme ve sadeleştirme yapılmalıdır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: