Limit Sorusu | 1775478335984

[Ruya_Erbil (Rüya Erbil)]

Soru:
2.
Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız.

a)

\lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}

b)

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - arctan x - 1}{x^{4}}

c)

\lim_{x \to +ınfty} \sin \left(\frac{\pi x}{2 - 3x} \right)

d)

\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}}

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik Uzman Cevap)]

Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Limit tanımları ve standart limit kuralları
• Taylor serisi açılımları
• L’Hôpital kuralı (gerektiğinde)
• Trigonometrik fonksiyonların limit özellikleri

---

a)

\lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}

Adım 1 — İfade İncelemesi

Pay ve payda aynı ifadeyi ifade ediyor: x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}.

Bu durumda limit ifadesi

\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1}

halinde ve x \to 1 için bu ifade belirsiz \frac{0}{0} formundadır.

Adım 2 — Basit sadeleştirme

Pay ve paydayı doğrudan sadeleştirirsek:

\frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} = 1, \quad x \neq 1

Bu yüzden limit doğrudan 1’dir.

---

b)

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1}{x^{4}}

Adım 1 — Taylor Serisi Açılımları

• e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots
• \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + \cdots

Adım 2 — İfadeyi açalım

e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1 = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \cdots \right) - \frac{1}{2} x^{2} - \left( x - \frac{x^{3}}{3} \right) - 1

Şimdi terimleri toplayalım:

1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{x^{3}}{3} - 1

Basitleştirelim:

• 1 - 1 = 0
• x - x = 0
• \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} x^{2} = 0
• \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{2x^{3}}{6} = \frac{3x^{3}}{6} = \frac{x^{3}}{2}
• Geriye \frac{x^{4}}{24} var.

Yani payda:

\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots

Adım 3 — Paydada x^4 var, pay yaklaşık \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24}

Bölüm:

\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots}{x^{4}} = \frac{x^{3}}{2 x^{4}} + \frac{x^{4}}{24 x^{4}} + \cdots = \frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + \cdots

x \to 0 iken \frac{1}{2x} \to \infty.

Yani limitin var olması için ekstra terimler gerekiyor. Görünüşe göre burada x^4 ile bölünmüş, ancak payda ile yapılan işlemi daha dikkatli yapalım.

Adım 4 — Yaklaşımın Yeniden Yapılması

Taylor serisini daha yukarıda yazarken küçük bir hata vardı. Çünkü pay gazetenin kuralına göre tekrar incelenmeli.

İfade:

e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \arctan x - 1

Taylor açılımları (sıfıra yakın):

• e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + \cdots
• \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \cdots

İfadenin payı:

(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}) - \frac{1}{2} x^{2} - (x - \frac{x^{3}}{3}) - 1 + \text{(yüksek dereceli terimler)}

Şimdi:

• 1 - 1 = 0
• x - x = 0
• \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} = 0
• \frac{x^{3}}{6} - (- \frac{x^{3}}{3}) = \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{2x^{3}}{6} = \frac{3x^{3}}{6} = \frac{x^{3}}{2}
• \frac{x^{4}}{24} kalır

Yani pay:

\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^4)

Payda x^{4}

Böylece limit:

\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \cdots}{x^{4}} = \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + \cdots \right) = \infty

Yani limit tanımsızdır (sonuç sonsuza gider).

---

c)

\lim_{x \to +\infty} \sin \left(\frac{\pi x}{2 - 3x} \right)

Adım 1 — İç Fonksiyonun Limitini Bul

\frac{\pi x}{2 - 3x} = \frac{\pi x}{-3x + 2} = \frac{\pi x}{-3x(1 - \frac{2}{3x})} = \frac{\pi x}{-3x (1 - \frac{2}{3x})} = \frac{\pi}{-3 (1 - \frac{2}{3x})}

x \to +\infty için \frac{2}{3x} \to 0 olur:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x}{2 - 3x} = \frac{\pi}{-3} = -\frac{\pi}{3}

Adım 2 — Sinüs Fonksiyonunun Limitini Bul

\sin\left( \lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x}{2 - 3x} \right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

---

d)

\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}\right)

Adım 1 — Belirsiz Form İncele

x \to 1 iken:

• \ln 1 = 0 dolayısıyla \frac{1}{\ln x} \to \infty
• \frac{1}{x - 1} \to \infty

Form \infty - \infty şeklinde (belirsiz).

Adım 2 — İfadeyi Tek Kesir Haline Getir

\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1 - \ln x}{(x-1) \ln x}

Adım 3 — Limitini Hesapla

\lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - \ln x}{(x-1) \ln x}

Hem pay hem paydayı inceleyelim.

Adım 4 — Payda Behaviörü

• x - 1 \to 0
• \ln x \to 0
  Böylece payda 0 \times 0 = 0 yapar.

Adım 5 — Taylor Açılımı

• \ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} + \cdots

Bu durumda:

x - 1 - \ln x = (x-1) - \left[ (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \cdots \right] = \frac{(x-1)^2}{2} + \cdots

Pay yaklaşık \frac{(x-1)^2}{2}.

Adım 6 — Payda Yaklaşımı

(x-1) \ln x \approx (x-1) \times (x-1) = (x-1)^2

Adım 7 — Limit Hesaplama

\lim_{x \to 1} \frac{ \frac{(x-1)^2}{2} }{(x-1)^2} = \frac{1}{2}

---

Özet:

a) Limit 1

b) Limit tanımsız (sonsuz)

c) Limit - \frac{\sqrt{3}}{2}

d) Limit \frac{1}{2}

---

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!

Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

[Sorumatik_GPT-5]

2. Aşağıda verilen limitleri hesaplayınız.

a) \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 1}{\sqrt[3]{x} - 1}
b) \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \tfrac{1}{2}x^{2} - \arctan x - 1}{x^{4}}
c) \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sin\!\left(\frac{\pi x}{2 - 3x}\right)
d) \displaystyle \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1}\right)

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

• Taylor serileri (e^x, arctan x, ln(1+h))
• Süreklilik: \sin süreklidir, iç limit varsa dışa uygulanabilir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a) Doğrudan sadeleştirme

Kurulum:

\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}

Hesaplama:

\frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}

=

1 \quad (x\neq 1 \text{ için } x^{1/3}=\sqrt[3]{x})

Sonuç:

\lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=1

Adım 2 — b) Taylor serileri ile en düşük dereceli terimi bulma

Kurulum:

\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-\tfrac{1}{2}x^{2}-\arctan x-1}{x^{4}}

e^x serisi (x→0):

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})

arctan x serisi (x→0):

\arctan x=x-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})

Numeratörü birleştirme:

e^{x}-1-\frac{1}{2}x^{2}-\arctan x

=

\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})\right) - \frac{1}{2}x^{2} - \left(x-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\right)

Birleştirme (terimler sadeleşir):

x - x = 0

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}x^{2} = 0

\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{2}

\text{Ayrıca } \frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}) \text{ terimi var.}

Dolayısıyla:

e^{x}-\frac{1}{2}x^{2}-\arctan x-1 = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})

Bölme:

\frac{\frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})}{x^{4}}

=

\frac{1}{2x} + \frac{1}{24} + o(1)

Sonuç: İfade x\to0 için \dfrac{1}{2x} terimi nedeniyle iki yönlü limit yoktur (ıssızlaşır). Tek yönlü limitler:

\lim_{x\to0^{+}} = +\infty

\lim_{x\to0^{-}} = -\infty

Adım 3 — c) İç limiti hesapla ve sin uygulaması

Kurulum:

\lim_{x\to+\infty}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right)

İç fonksiyon limiti:

\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi x}{2-3x}

İşlem (pay ve paydayı x ile böl):

\frac{\pi x}{2-3x}

=

\frac{\pi}{2/x-3}

x→+∞ için 2/x→0 olduğundan:

\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi}{2/x-3}=\frac{\pi}{0-3}=-\frac{\pi}{3}

Sinüsün sürekliliği ile:

\lim_{x\to+\infty}\sin\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Adım 4 — d) ln(1+h) ile h-substitüsyonu ve genişletme

Kurulum (h = x-1):

\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)

Yerine h=x-1 koy:

\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{\ln(1+h)}-\frac{1}{h}\right)

ln serisi:

\ln(1+h)=h-\frac{h^{2}}{2}+o(h^{2})

Bunun tersini al:

\frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h-\frac{h^{2}}{2}+o(h^{2})}

=

\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{1-\frac{h}{2}+o(h)}

Geometrik seriden genişletme:

\frac{1}{1-\frac{h}{2}+o(h)}=1+\frac{h}{2}+o(h)

Dolayısıyla:

\frac{1}{\ln(1+h)}=\frac{1}{h}\left(1+\frac{h}{2}+o(h)\right)

Çıkarma:

\frac{1}{\ln(1+h)}-\frac{1}{h}

=

\frac{1}{h}\left(1+\frac{h}{2}+o(h)\right)-\frac{1}{h}

=

\frac{1}{h}\cdot\frac{h}{2}+o(1)

=

\frac{1}{2}+o(1)

Sonuç:

\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
a) 1
b) İki yönlü limit yok ( +\infty sağdan, -\infty soldan )
c) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
d) \dfrac{1}{2}

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Taylor serisi

• Tanım: Bir fonksiyonun küçük değişken etrafındaki polinom yaklaşımı.
• Bu problemde: e^x ve arctan x serileri b) için; ln(1+h) serisi d) için kullanıldı.

2. Süreklilik

• Tanım: İç limit varsa dış fonksiyona uygulanabilir.
• Bu problemde: c) için sin sürekli olduğundan iç limit alınarak sonuç bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

Sadeleştirmeyi yanlış okumak

• Yanlış: a şıkkında kök türlerini karıştırıp gereksiz türev uygulamak.
• Doğru: İfade özdeş olduğu için doğrudan 1 olur.
• Neden yanlış: Aynı ifade farklı şekilde yazılmış gibi algılanabilir.
• Düzeltme: İfadeyi açıkça kontrol edin; x^{1/3}=\sqrt[3]{x}.

En düşük dereceli terimi atlamak (B şıkkı)

• Yanlış: Numeratörün en düşük derecesini x^4 kabul edip sonucun sonlu olduğunu düşünmek.
• Doğru: Numeratörün en düşük derecesi x^3 olduğu için bölüm x^4 ile 1/x davranışı verir (dalgınlık).
• Neden yanlış: Taylor açılımı yapılmadan doğrudan sonuç çıkarma yanlış yönlendirir.
• Düzeltme: Her terimin Taylor serisini al ve en küçük kuvveti belirle.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?