Limit ve Fonksiyon Analizi Soru Çözümleri
Aşağıda görselde yer alan 6 sorunun her biri için müfredata uygun, adım adım çözümler sunulmuştur.
Soru 1: Köklü İfadelerde 0/0 Belirsizliği ve Limit
\lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt{9 - \sqrt{x - 3}} - 3}{\sqrt{x - 3}}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: x \to 3 için pay ve payda sıfıra yaklaştığından \left[\frac{0}{0}\right] belirsizliği oluşur. Eşlenik ile çarpma veya değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişken Değiştirme:
\sqrt{x - 3} = u dönüşümü yapalım. x \to 3^+ iken u \to 0^+ olur:
\lim_{u \to 0^+} \frac{\sqrt{9 - u} - 3}{u}
Adım 2 — Eşlenikle Çarpıp Sadeleştirme:
Pay ve paydayı payın eşleniği olan (\sqrt{9 - u} + 3) ile çarpalım:
\frac{(\sqrt{9 - u} - 3)(\sqrt{9 - u} + 3)}{u(\sqrt{9 - u} + 3)} = \frac{(9 - u) - 9}{u(\sqrt{9 - u} + 3)} = \frac{-u}{u(\sqrt{9 - u} + 3)}
u \neq 0 olduğundan u terimleri sadeleşir:
\lim_{u \to 0^+} \frac{-1}{\sqrt{9 - u} + 3} = \frac{-1}{\sqrt{9 - 0} + 3} = -\frac{1}{6}
CEVAP: -\frac{1}{6}
Soru 2: Parçalı Fonksiyonlarda Limit İncelemesi
f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < -1 \\ \frac{x^3 - 125}{x^2 - 25}, & 2 < x < 5 \end{cases}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir noktada iki taraflı limitin var olması için fonksiyonun o noktanın hem sağında hem solunda tanımlı olması ve sağ-sol limitlerin birbirine eşit olması gerekir.
ÖNCÜL ANALİZİ
CEVAP: I, II ve IV doğrudur.
Soru 3: Trigonometrik Bileşke Limit
f(x) = \sin x, \quad g(x) = \cos(\pi x), \quad h(x) = \left|\frac{x^2 - 1}{x + 1}\right| - x
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} (h \circ g \circ f)(x) \text{ kaça eşittir?}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bileşke fonksiyonda limit hesaplanırken adım adım içteki fonksiyonların değerlerine hangi yönden yaklaşıldığı takip edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — f(x) limitini bulma:
x \to \frac{\pi}{2}^+ iken \sin x değeri 1’e küçük değerlerden yaklaşır (azalarak 1’e gelir):
x \to \frac{\pi}{2}^+ \implies f(x) \to 1^-
Adım 2 — g(x) limitini bulma:
u \to 1^- \implies g(u) = \cos(\pi u) \to \cos(\pi)^+ = -1^+
(u < 1 iken \pi u < \pi, \cos II. bölgede negatif olup -1’den büyüktür, yani -1^+).
Adım 3 — h(x) kuralını sadeleştirip hesaplama:
x \neq -1 için:
h(x) = \left|\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}\right| - x = |x - 1| - x
x \to -1 için x - 1 < 0 olduğundan:
h(x) = -(x - 1) - x = 1 - 2x
x = -1 \implies h(-1) = 1 - 2(-1) = 3
CEVAP: 3
Soru 4: Fonksiyonlarda Periyodik Bileşke İşlemi
f(x) = \frac{79x - 51}{71x - 79} \implies \underbrace{(f \circ f \circ \dots \circ f)}_{6 \text{ tane } f}(1) \text{ değeri kaçtır?}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} fonksiyonunda a = -d ise fonksiyonun tersi kendisine eşittir: f^{-1}(x) = f(x). Dolayısıyla (f \circ f)(x) = I(x) = x (Birim fonksiyon) olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ters Fonksiyon Eşitliği:
f(x) = \frac{79x - 51}{71x - 79} fonksiyonunda paydaki x’in katsayısı (a = 79) ile paydadaki sabit sayı (d = -79) birbirinin zıt işaretlisidir (a = -d).
f^{-1}(x) = \frac{-(-79)x - 51}{71x - 79} = \frac{79x - 51}{71x - 79} = f(x)
Adım 2 — Çift Sayıda Bileşke:
f(f(x)) = x olduğundan fonksiyon her 2 bileşkede bir birim fonksiyona döner:
f^2(x) = x, \quad f^4(x) = x, \quad f^6(x) = x
Buradan f^6(1) = 1 elde edilir.
CEVAP: 1
Soru 5: Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi
f(x) = \log_{(|x - 1| - 2)} \sqrt{36 - x^2}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: \log_b(a) fonksiyonunun tanımlı olması için:
- a > 0
- b > 0
- b \neq 1
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Argüman Şartı:
\sqrt{36 - x^2} > 0 \implies 36 - x^2 > 0 \implies -6 < x < 6
Adım 2 — Taban Şartları:
Adım 3 — Kesişim Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme:
x \in (-6, 6) aralığında:
- x < -1 için: \{-5, -4, -3\} (-2 alınamaz)
- x > 3 için: \{5\} (4 alınamaz)
Sağlayan tam sayılar: \{-5, -4, -3, 5\}
\text{Toplam} = (-5) + (-4) + (-3) + 5 = -7
CEVAP: -7
Soru 6: Birebir ve Örten Parçalı Fonksiyon
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ 4x + a, & x > 2 \end{cases}
f^{-1}(15) + f(a) \text{ toplamı kaçtır?}
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Parçalı doğrusal bir fonksiyonun \mathbb{R} \to \mathbb{R} birebir ve örten olabilmesi için parçaların eğim işaretlerinin aynı olması ve kritik noktada (x = 2) değerlerin eşitlenmesi (süreklilik ve aralıkta boşluk kalmaması) gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — a Sabitini Bulma:
x = 2 kritik noktasında:
2(2) - 1 = 4(2) + a \implies 3 = 8 + a \implies a = -5
Fonksiyon kuralı:
f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ 4x - 5, & x > 2 \end{cases}
Adım 2 — f(a) Değerini Hesaplama:
a = -5 \le 2 olduğundan birinci parça kullanılır:
f(-5) = 2(-5) - 1 = -11
Adım 3 — f^{-1}(15) Değerini Hesaplama:
Görüntü 15 değeri için x > 2 bölgesini (4x - 5) kontrol edelim:
4x - 5 = 15 \implies 4x = 20 \implies x = 5 \quad (5 > 2 \text{ şartını sağlar})
Dolayısıyla f^{-1}(15) = 5 olur.
Adım 4 — İstenen Toplam:
f^{-1}(15) + f(a) = 5 + (-11) = -6
CEVAP: -6
