\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+x+3}-2x+1}{1-\sqrt{3x-5}} limiti kaça eşittir?
Köklü İfadelerde 0/0 Belirsizliği ve Limit Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir rasyonel fonksiyonun limitinde \frac{0}{0} belirsizliği oluştuğunda limit değeri, eşlenikle çarpma yöntemiyle çarpanlara ayırarak veya türev yardımıyla L’Hôpital Kuralı (\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}) uygulanarak hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Belirsizlik Durumunun Tespiti
Verilen ifadede x = 2 değerini pay ve paydada yerine yazalım:
- Pay: \sqrt{2^2 + 2 + 3} - 2(2) + 1 = \sqrt{9} - 4 + 1 = 3 - 3 = 0
- Payda: 1 - \sqrt{3(2) - 5} = 1 - \sqrt{1} = 0
İfade \left[\frac{0}{0}\right] belirsizliği içerdiğinden L’Hôpital Kuralı uygulanır.
Adım 2 — Pay ve Paydanın Türevini Alma
Kareköklü ifadelerin türev kuralı \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} bağıntısı kullanılarak pay ve paydanın x’e göre ayrı ayrı türevleri alınır:
\text{Payın Türevi: } \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+x+3} - 2x + 1\right) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}} - 2
\text{Paydanın Türevi: } \frac{d}{dx}\left(1 - \sqrt{3x-5}\right) = -\frac{3}{2\sqrt{3x-5}}
Adım 3 — x = 2 Değerini Yerine Yazma
Türev fonksiyonlarında x = 2 değeri konularak limit değeri bulunur:
\text{Pay} = \frac{2(2)+1}{2\sqrt{2^2+2+3}} - 2 = \frac{5}{2\sqrt{9}} - 2 = \frac{5}{6} - 2 = -\frac{7}{6}
\text{Payda} = -\frac{3}{2\sqrt{3(2)-5}} = -\frac{3}{2(1)} = -\frac{3}{2}
\lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{-\frac{7}{6}}{-\frac{3}{2}} = \left(-\frac{7}{6}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}
CEVAP: \frac{7}{9}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tip köklü sorularda payı \left(\sqrt{x^2+x+3} + (2x-1)\right), paydayı ise \left(1+\sqrt{3x-5}\right) eşlenikleriyle çarparak ortak (x-2) çarpanını sadeleştirmek de aynı sonuca ulaştırır; ancak L’Hôpital kuralı işlem adımlarını ve hata payını belirgin biçimde azaltır.