f(1) = 4
\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 4}{x - 1} = 1
olduğuna göre,
\lim_{x \to 1} \frac{(3x - 3)\sqrt{f(x)}}{(4 - f(x))}
limitinin değeri kaçtır?
Fonksiyonel Limitlerde Çarpanlara Ayırma ve Değişken Dönüşümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Paydası sıfıra yaklaşırken sonlu bir reel sayıya eşit olan limitlerde belirsizlik durumu vardır ve \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = L (L \in \mathbb{R}, h(a) = 0) ise \lim_{x \to a} g(a) = 0 olur. Çarpım durumundaki limitler \lim [A(x) \cdot B(x)] = \lim A(x) \cdot \lim B(x) kuralı gereğince ayrı ayrı hesaplanabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Limiti ve Fonksiyonun Limit Değerini Belirleme
Verilen \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 4}{x - 1} = 1 ifadesinde x \to 1 için payda sıfır olduğundan, sonucun sonlu bir reel sayı (1) çıkması için payın da sıfıra yaklaşması gerekir:
\lim_{x \to 1} (f(x) - 4) = 0 \implies \lim_{x \to 1} f(x) = 4
Buradan çarpanın çarpmaya göre tersi de \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{f(x) - 4} = \frac{1}{1} = 1 olur.
Adım 2 — İstenen Limit İfadesini Çarpanlarına Ayırma
İstenen ifadede pay kısmını 3 ortak parantezine, paydayı ise eksi (-) parantezine alarak verilen limite benzeyecek biçimde düzenleyelim:
\lim_{x \to 1} \frac{(3x - 3)\sqrt{f(x)}}{4 - f(x)} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{3(x - 1)}{-(f(x) - 4)} \cdot \sqrt{f(x)} \right)
Adım 3 — Değerleri Yerine Yazarak Limiti Hesaplama
İfadeyi limit kurallarına göre çarpanlarına ayıralım ve bilinen değerleri yerine koyalım:
\lim_{x \to 1} \left( -3 \cdot \frac{x - 1}{f(x) - 4} \cdot \sqrt{f(x)} \right) = -3 \cdot 1 \cdot \sqrt{4} = -3 \cdot 2 = -6
CEVAP: -6
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paydada yer alan (4 - f(x)) ifadesi ile verilen tanımdaki (f(x) - 4) ifadesi birbirinin zıt işaretlisidir. Eksi işaretini parantez dışına taşımayı unutmak en yaygın işaret hatasıdır.