Soru
120 kg pirinç ve kütlesi kilogram cinsinden tam sayı olan bir miktar bulgur birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit kütleli paketlere konulmuştur.
Kullanılan paketlerin kütlesi en fazla 20 kg olduğuna göre başlangıçtaki bulgurun kütlesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 80 B) 120 C) 140 D) 180
Öne Çıkan 3 Nokta
- Paket kütlesi, pirinç ve bulgurun eşit ve en büyük ortak bölenine (EBOB) eşittir.
- EBOB(120, x) ≤ 20 kg şartını sağlamalıyız.
- Seçenekler içinde sadece 140 için EBOB(120, 140) = 20 kg ≤ 20 kg olur.
İçindekiler
1. Detaylı Çözüm
Pirinç ve bulguru eşit kütleli paketlere ayırmak için paket kütlesi
– hem 120 kg ile
– hem de bulgurun kütlesi x ile
tam bölünebilen bir sayı olmalıdır.
Bunu en verimli şekilde yapmak için paket kütlesi, bu iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) olarak alınır.
Ayrıca soru, bu en büyük ortak bölenin en fazla 20 kg olduğunu söyler:
$$\mathrm{EBOB}(120,x)\le20.$$
Seçenekleri inceleyelim:
| x (kg) | EBOB(120,x) | EBOB(120,x) ≤ 20? | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 80 | 40 | Hayır | Elenir |
| 120 | 120 | Hayır | Elenir |
| 140 | 20 | Evet | Kabul |
| 180 | 60 | Hayır | Elenir |
Görüldüğü gibi yalnızca x = 140 kg için EBOB(120, x) = 20 kg şartı sağlanır.
Cevap: C) 140
2. Karşılaştırmalı Tablo
Aşağıda her seçenekteki EBOB değerlerinin 20 kg şartını nasıl sağladığını görebilirsiniz:
| Seçenek (x kg) | Ortak Bölenler | En Büyük Ortak Bölen | Şart (≤20 kg) |
|---|---|---|---|
| 80 | 1,2,4,5,8,10,20,40 | 40 | Hayır |
| 120 | 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120 | 120 | Hayır |
| 140 | 1,2,4,5,7,10,14,20,28,35,70,140 | 20 | Evet |
| 180 | 1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180 | 60 | Hayır |
3. Özet Tablosu
| Özellik | Değer / Açıklama |
|---|---|
| Pirinç kütlesi | 120 kg |
| Bulgur kütlesi (x) | Seçenekler: 80, 120, 140, 180 kg |
| Paket kütlesi | EBOB(120, x), en fazla 20 kg |
| Geçerli seçenek | x = 140 kg → EBOB(120, 140) = 20 kg |
4. SSS
S1: EBOB nasıl bulunur?
C1: Euclid algoritmasıyla ardışık bölme işlemleriyle.
S2: Neden en büyük ortak bölen alıyoruz?
C2: Paket sayısını minimuma indirerek en verimli paketlemeyi sağlar.
S3: Şart “en fazla 20 kg” olmasa ne olurdu?
C3: Paket kütlesi doğrudan EBOB(120, x) olurdu ve 80 kg seçeneği da mümkün olurdu.
S4: x farklı tam sayı olsaydı mantık değişir miydi?
C4: Hayır, her zaman EBOB(120, x) ≤ 20 koşuluna bakılır.
Başka benzer “EBOB temelli paketleme” soruları çözmek ister misin?
@Berat_Haydaroglu
LGS Deneme Sınavı 1 - Sayısal Bölüm Soru 4 Analizi ve Çözümü
Önemli Noktalar
- 120 kg pirinç ve tam sayı kg olan bulgurdan oluşan bir sistem var.
- Kullanılan paketlerin kütlesi eşit ve en fazla 20 kg olacak şekilde ayarlanıyor.
- Paketlerde hiçbir malzeme artmıyor, karışmıyor.
- Toplam paketler aynı kütlede ve tam sayı olarak ayrılacak.
- Bulgurun kütlesi seçeneklerde veriliyor ve başlangıçtaki bulgur kütlesi soruluyor.
Sorunun özü:
120 kg pirinç ve x kg bulgur toplamda 120 + x kg malzeme vardır. Bu toplam malzeme, eşit ağırlıklı ve 20 kg’ı aşmayan paketlere bölünüyor. Burada amaç; bu kütleleri bölebilen ve 20’den küçük ya da eşit olan en büyük ortak tam sayı kütleyi bulmak ve bulgurun hangi kütle olabileceğini bulmak.
İçindekiler
- Problemin Matematiksel Temeli
- Çözüm Adımları
- Paket Kütlesine Göre Bulgur Kütlesi Seçeneklerinin Değerlendirilmesi
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Problemin Matematiksel Temeli
Toplam kütle:
120 + b (kg), burada b bulgurun kütlesi ve tam sayıdır.
Bu toplam, tam sayı sayıda ve 20 kg veya daha az paketlere, birbirine eşit kütlede ve artmadan bölünebiliyor.
Eşit kütle = ortak bölen olacak.
Ortak bölen ≤ 20 olmalı.
Bunun için 120 + b sayısı ile 120 sayısının da ortak böleni (bölenleri) bulunmalı.
Yani, 120 ve 120 + b sayıları arasında 20’den küçük veya eşit ortak bölenler aranmalı.
2. Çözüm Adımları
- Paketlerin kütlesi en fazla 20 kg, tam sayı:
Ortak bölen en fazla 20 kg olmalı. - Paketler eşit kütlede:
120 ve b toplamı bu ortak bölenin katı olmalı. - 120 kg pirinç zaten sabit:
120 sayısının bölenlerini listeleyelim (1’den 20’ye kadar):
120’nin pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, … (20’den büyükler hariç)
-
b’yi bulmak için:
120 + b sayısının da aynı ortak bölenlere sahip olması gerekiyor. -
b’nin tüm seçenekleri için 120 + b’nin ortak bölenleri incelenir:
Seçeneklere bakalım:
A) 80
B) 120
C) 140
D) 180
Her biri için 120 + b toplamı hesaplanır:
- 120 + 80 = 200
- 120 + 120 = 240
- 120 + 140 = 260
- 120 + 180 = 300
Şimdi 120 ve bu toplamların ortak en büyük bölenleri 20’den küçük veya eşit olanları bulalım.
3. Paket Kütlesine Göre Bulgurların Değerlendirilmesi
| b (kg) | Toplam (120+b) | GCD(120, 120+b) | GCD ≤ 20? (Paketteki kütle) | Geçerli mi? |
|---|---|---|---|---|
| 80 | 200 | GCD(120,200) = 40 | Hayır | Hayır |
| 120 | 240 | GCD(120,240) = 120 | Hayır | Hayır |
| 140 | 260 | GCD(120,260) = 20 | Evet | Evet |
| 180 | 300 | GCD(120,300) = 60 | Hayır | Hayır |
- GCD: En büyük ortak bölen
- 140 için paket ağırlığı 20 kg olabilir ve gereksinimleri sağlar.
4. Özet Tablo
| Öğe | Değer |
|---|---|
| Pirinç Kütlesi | 120 kg |
| Bulgur Kütlesi | 140 kg |
| Toplam Kütle | 260 kg |
| Ortak Bölen (Paket Kütlesi) | 20 kg (maksimum izin verilen) |
| Paket Sayısı | 13 (260 / 20) |
| Paket Başına Kütle | 20 kg |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Neden GCD kullanıyoruz?
Ortak bölen, iki sayının ortak eşit parçalarını nasıl bölünebileceklerini gösterir. Bu durumda paket kütlesi bu ortak bölen olmalıdır.
2. Paketlerin kütlesi neden tam sayı olmalı?
Soruda kg cinsinden tam sayı denildiği için kesirli paket kurulamaz. Bu da ortak bölen hesaplama gerektirir.
3. Başka çözüm yolu var mı?
Evet, bölenler listesi yapıp, toplamı ve pirinç kütlesini o bölenle test etmek de mümkündür.
Sonuç:
Başlangıçtaki bulgurun kütlesi 140 kg (C seçeneği) olabilir.
Sonraki Adımlar
Bu soruyla ilgili benzer pratik bölme ve ortak bölen soruları ister misiniz? Ya da paketleme problemlerinde geniş kapsamlı çözümler görmek ister misiniz?