Exercice I- Autonatismes
Résolution complète de l’Exercice 1 — Automatismes
Question 1 : Le quart d’un tiers
Règle : Prendre une fraction d’une autre fraction revient à multiplier ces deux fractions entre elles.
Étapes de résolution :
Étape 1 — Traduction mathématique
- « Le quart » correspond à la fraction \frac{1}{4}.
- « Le tiers » correspond à la fraction \frac{1}{3}.
- Le quart d’un tiers s’écrit donc : \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}.
Étape 2 — Calcul du produit
\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}
Étape 3 — Analyse des options
A. \frac{1}{7} — Erreur fréquente consistant à additionner les dénominateurs (4+3).
B. \frac{1}{12} — Résultat correct de la multiplication des fractions.- C. \frac{4}{3} — Incorrect.
- D. \frac{3}{4} — Incorrect.
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Réponse : B. \frac{1}{12}
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Question 2 : Résolution de l’égalité pour trouver B
Règle : Pour trouver B, on calcule d’abord l’expression de droite, puis on prend l’inverse.
Étapes de résolution :
Étape 1 — Calcul du membre de droite
On a l’équation :
\frac{1}{B} = 2 - \frac{1}{5}
On met au même dénominateur :
2 - \frac{1}{5} = \frac{2 \times 5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}
Étape 2 — Détermination de B
On obtient :
\frac{1}{B} = \frac{9}{5} \implies B = \frac{5}{9}
Étape 3 — Analyse des options
- A. B = \frac{1}{7} — Incorrect.
- B. B = 5 — Incorrect.
- C. B = \frac{5}{9} — Correspond à l’inverse de \frac{9}{5}.
- D. B = \frac{9}{5} — C’est la valeur de \frac{1}{B} et non de B.
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Réponse : C. B = \frac{5}{9}
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Question 3 : Identification de l’égalité correcte
Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}.
Étapes de résolution :
Étape 1 — Analyse de l’option A
5 \div \frac{6}{5} = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \neq \frac{30}{5}
(Option A fausse)
Étape 2 — Analyse de l’option B
\frac{6}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6 \times 6}{5 \times 7} = \frac{36}{35}
(Option B correcte)
Étape 3 — Analyse des options C et D
- Option C : \frac{\frac{4}{5}}{4} = \frac{4}{5 \times 4} = \frac{1}{5} \neq \frac{25}{4} (Fausse)
- Option D : On ne peut pas simplifier les termes d’une somme \frac{4+5}{5+5} = \frac{9}{10} \neq \frac{4}{5} (Fausse)
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Réponse : B. \frac{6}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{36}{35}
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Question 4 : Image de -\frac{4}{5} par la fonction f(x) = 6x - 6
Formule utilisée : Calculer l’image d’un nombre x_0 par une fonction f consiste à remplacer x par x_0 dans l’expression f(x).
Étapes de résolution :
Étape 1 — Substitution de la valeur
f\left(-\frac{4}{5}\right) = 6 \times \left(-\frac{4}{5}\right) - 6
Étape 2 — Multiplication
6 \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{5}
Étape 3 — Soustraction avec mise au même dénominateur
f\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{5} - 6 = -\frac{24}{5} - \frac{6 \times 5}{5} = -\frac{24}{5} - \frac{30}{5}
f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{-24 - 30}{5} = -\frac{54}{5}
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Réponse : D. -\frac{54}{5}
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Question 5 : Calcul de l’expression A = \frac{1}{3 - \frac{2}{5}}
Règle : On simplifie d’abord le dénominateur avant de prendre l’inverse.
Étapes de résolution :
Étape 1 — Calcul du dénominateur
3 - \frac{2}{5} = \frac{3 \times 5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{15 - 2}{5} = \frac{13}{5}
Étape 2 — Calcul de l’inverse
A = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}
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Réponse : \frac{5}{13}
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Souhaites-tu que l’on détaille ensemble une notion en particulier ou que je te propose un exercice similaire pour t’entraîner ?