- Bir mahendis, Dçgen biçimindekil bir çerçevenin
lçine, uzunlukları ardişık tam sayıilar olan üç destek
çubuğu yerkeştimek istemektedir. Çubuklar Şekil 1’de
büyüklöklerine göre siralanmiştır.
Mühendis, çubuklarn ABc üçgeninin çine Şakil 2’doki gibi
yerteştiriken1IAKI IBLI = ICMI olacak şeklde konumlandırilrmgtr.
Ayrnca şekilde göslerilen kırmizi açlann öiçleri eşiti
Seki
Bu düzenleme sonucunda KLM Ôçgeni oluşuyor.
ABI36 ve ACI 48 birim
Sekil 2
A) 24
olduğuna göre KLM 0çgeninin çevresl kaç blrtmdir?
B) 21
C) 18
D) 15
E) 12
bligisl
Sa
Üçgen İçine Yerleştirilen Destek Çubukları ve KLM Üçgeninin Çevresi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Üçgende Dış Açı Teoremi: Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
- Açı-Açı-Açı (A.A.A.) Benzerlik Teoremi: Karşılıklı açıları eşit olan iki üçgen benzerdir ve benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır:
\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{|KM|}{|AC|} = \frac{|LM|}{|BC|} = k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Açılar Arasındaki İlişkiyi ve Benzerliği Belirleme
Şekilde verilen kırmızı açıların ölçüsüne \alpha diyelim:
- m(\widehat{BAL}) = m(\widehat{CBM}) = m(\widehat{ACK}) = \alpha
- ABC üçgeninin iç açıları sırasıyla \widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C} olsun.
KLM üçgeninin iç açılarını dış açı kuralı ile bulalım:
- ABL üçgeninde L köşesindeki dış açı:
m(\widehat{KLM}) = m(\widehat{BAL}) + m(\widehat{ABL}) = \alpha + (\widehat{B} - \alpha) = \widehat{B}
- BCM üçgeninde M köşesindeki dış açı:
m(\widehat{LMK}) = m(\widehat{CBM}) + m(\widehat{BCM}) = \alpha + (\widehat{C} - \alpha) = \widehat{C}
- CAK üçgeninde K köşesindeki dış açı:
m(\widehat{MKL}) = m(\widehat{ACK}) + m(\widehat{CAK}) = \alpha + (\widehat{A} - \alpha) = \widehat{A}
Böylece KLM üçgeninin iç açıları ABC üçgeninin iç açılarına eşit olduğundan:
\triangle KLM \sim \triangle ABC
Adım 2 — Kenar Uzunlukları Oranını Kurma
Benzerlik oranına göre karşılıklı kenarları oranlayalım:
\frac{|KL|}{|AB|} = \frac{|KM|}{|AC|} \implies \frac{|KL|}{36} = \frac{|KM|}{48}
Oranı sadeleştirdiğimizde:
\frac{|KL|}{|KM|} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}
Adım 3 — Çubuk Uzunlukları ve Ardışık Tam Sayı Koşulu
Destek çubuklarının uzunlukları:
- |AL| = |AK| + |KL|
- |BM| = |BL| + |LM|
- |CK| = |CM| + |KM|
|AK| = |BL| = |CM| = d olduğundan, çubukların boyları arasındaki farklar doğrudan KLM üçgeninin kenar uzunlukları (|KL|, |LM|, |KM|) arasındaki farklara eşittir. Çubukların uzunlukları ardışık tam sayılar olduğundan, KLM üçgeninin kenar uzunlukları da ardışık tam sayılardır.
\frac{|KL|}{|KM|} = \frac{3}{4} oranını sağlayan ve ardışık tam sayılardan oluşan kenar grubu:
- |KL| = 3k ve |KM| = 4k
- k = 2 için: |KL| = 6 ve |KM| = 8 olur.
- Kenarlar ardışık tam sayı olduğundan üçüncü kenar |LM| = 7 birimdir.
- Kenar kümesi: \{6, 7, 8\}
Adım 4 — KLM Üçgeninin Çevresini Hesaplama
Ç(KLM) = |KL| + |LM| + |KM|
Ç(KLM) = 6 + 7 + 8 = 21\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 21
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üçgende Benzerlik (A.A.A.)
- Tanım: İki üçgenin karşılıklı tüm iç açıları eşitse bu iki üçgen benzerdir.
- Bu problemde: Kırmızı eş açılar sayesinde KLM üçgeninin köşelerindeki dış açılardan iç açılara ulaşılarak \triangle KLM \sim \triangle ABC benzerliği elde edilmiştir.
2. Ardışık Sayılar
- Tanım: Aralarındaki fark 1 olan tam sayılardır.
- Bu problemde: Ortak d uzunluğu çıkarıldığında geriye kalan kenar uzunluklarının ardışık tam sayılar olduğu belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Benzerlik Yönünü Karıştırmak
- Yanlış: Hangi kenarın hangi açı karşısında olduğunu belirlemeden rastgele oran yazmak.
- Doğru: Her açının karşısındaki kenarı benzer üçgendeki eşit açının karşısındaki kenarla eşleştirmek.
- Neden Yanlış: Yanlış kenar eşleştirmesi hatalı oran ve yanlış kenar uzunlukları bulunmasına yol açar.
Benzer üçgenlerde açı-kenar bağıntılarını pekiştirmek için bu soruya benzer yeni bir geometri sorusu çözmemi ister misin?