akiŞiyor.
|A’D| = 2 birim
[AC] L [BC]
Yukarıdaki verilere göre |AC| kaç birimdir?
A) 5
B) 2/7
c) \30
D) 6
E) 2/10
Dik Üçgende Katlama ve |AC| Uzunluğunun Hesaplanması
KULLANILAN KURAL VE GEOMETRİK BAĞINTILAR:
- Katlama Prensibi: Bir şekil katlandığında katlama çizgisi ([CD]) açıortay ve simetri eksenidir. Katlanan parça ile oluşan yeni parça eştir (\triangle ADC \cong \triangle A'DC). Dolayısıyla |AD| = |A'D| = 2\text{ birim} ve |AC| = |A'C| olur.
- Pisagor Teoremi ve Koordinat Bağıntısı: [AC] \perp [BC] olduğundan C köşesi orijin kabul edilerek analitik veya benzerlik yöntemleriyle kenar uzunluğu denklemi kurulabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Katlama Özelliklerini Belirleme
- ABC dik üçgeninde [AC] \perp [BC] ve |BC| = 6\text{ birim} olarak verilmiştir.
- \triangle ADC üçgeni [CD] boyunca katlandığında A noktası A' noktasına gelmektedir.
- Katlama sonucunda:
- |AD| = |A'D| = 2\text{ birim}
- |AC| = |A'C| = b
- [A'D] \parallel [BC] olur.
Adım 2 — Noktaların Koordinatlarını ve Oranları Yazma
C noktasını orijin (0, 0) olarak seçelim:
- C = (0, 0)
- B = (-6, 0)
- A = (0, b) (burada b = |AC|)
AB doğrusunun eğimi ve A(0, b) noktasından B(-6, 0) yönünde 2\text{ birim} uzaklıkta olan D noktasının koordinatları:
|AB| = \sqrt{6^2 + b^2} = \sqrt{36 + b^2}
D noktasının koordinatları:
x_D = -\frac{2 \cdot 6}{\sqrt{36 + b^2}} = -\frac{12}{\sqrt{36 + b^2}}
y_D = b - \frac{2 \cdot b}{\sqrt{36 + b^2}} = b\left(1 - \frac{2}{\sqrt{36 + b^2}}\right)
[A'D] \parallel [BC] (yatay) ve |A'D| = 2\text{ birim} olduğundan A' noktasının koordinatları:
x_{A'} = x_D - 2
y_{A'} = y_D
Adım 3 — |A'C| = |AC| = b Eşitliğinden Denklemi Kurma ve Çözme
A' noktasının orijine (C noktasına) uzaklığı b birimdir:
(x_D - 2)^2 + y_D^2 = b^2
x_D^2 - 4x_D + 4 + y_D^2 = b^2
D noktası A(0,b) noktasına 2\text{ birim} uzaklıkta olduğundan x_D^2 + (y_D - b)^2 = 4 \implies x_D^2 + y_D^2 = 4 + 2b y_D - b^2 olur. Bu ifadeyi yerine yazarsak:
(4 + 2b y_D - b^2) - 4x_D + 4 = b^2
8 + 2b y_D - 4x_D = 2b^2
4 + b y_D - 2x_D = b^2
x_D ve y_D değerlerini yerine koyalım:
4 + b^2 - \frac{2b^2}{\sqrt{36 + b^2}} + \frac{24}{\sqrt{36 + b^2}} = b^2
4 = \frac{2b^2 - 24}{\sqrt{36 + b^2}}
2\sqrt{36 + b^2} = b^2 - 12
Her iki tarafın karesini alalım:
4(36 + b^2) = (b^2 - 12)^2
144 + 4b^2 = b^4 - 24b^2 + 144
b^4 - 28b^2 = 0
b^2(b^2 - 28) = 0
b > 0 olduğundan:
b^2 = 28 \implies b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (2\sqrt{7})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katlama Çizgisi (Simetri Ekseni)
- Tanım: Katlama yapılan doğru, katlanan köşe ile oluşan yeni köşeyi birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.
- Bu problemde: [CD] katlama çizgisi boyunca \triangle ADC üçgeni katlanarak \triangle A'DC üçgenine dönüştürülmüş, kenar uzunlukları korunmuştur (|AD| = |A'D| = 2 ve |AC| = |A'C|).
SIK YAPILAN HATALAR:
Katlanan kenarın uzunluğunun değiştiğini varsaymak
- Yanlış: Katlama sonrasında |A'D| uzunluğunu |AD|'den farklı almak.
- Doğru: Katlama bir izometridir (şeklin boyutları ve kenar uzunlukları değişmez), |AD| = |A'D| = 2\text{ birim} olmalıdır.
- Neden yanlış: Katlama işlemi esnetme veya küçültme yapmaz, yalnızca düzlemde yansıma (simetri) uygular.
Bu katlama sorusunun benzerlik (açı takibi) yöntemiyle yapılan alternatif geometrik çözümünü de adım adım incelemek ister misin?