L uzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu À dır

Üniversite
1

Soru:
SORU I:
L uzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu À dır. Çubuk ekseni zerinde,
çubugun bir ucundan a uzaklngunda bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz?

yüzeysel yük yoğunluklu, yaltkan, sonsuz arti yüklü bir duzlemin elektrik alanını bulunuz.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

L uzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu λ dır. Çubuğun bir ucundan a uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Lineer yük dağılımı için elektrik alanı:
    E = k \int \frac{dq}{r^2}
    burada, k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} ,
    dq = \lambda dx ,
    r her küçük yük elemanından P noktasına uzaklık,
  • Entegre ederken uzaklık ve konum dikkatlice hesaplanmalı.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinat sistemi kurulumu

  • Çubuğun başlangıcını x=0 , bitişini x=L alalım.
  • P noktası çubuğun ucundan a uzaklıkta, yani x = -a pozisyonunda bulunuyor.

Adım 2 — Elektrik alanı ifadesinin yazılması

  • Küçük bir yük elemanı:
    dq = \lambda dx
  • P noktasından uzunluk elemanına olan uzaklık:
    r = a + x (çünkü P, çubuğun sol ucundan a mesafede ve çubuk x boyunca sağa uzanıyor)
  • Böylece elektrik alanın büyüklüğü (vektör doğrultusu sağa, çubuktan P noktasına doğru) için:
    dE = k \frac{dq}{r^2} = k \frac{\lambda dx}{(a + x)^2}

Adım 3 — İntegralin kurulması ve hesaplanması

  • Toplam elektrik alan:
    E = k \lambda \int_0^L \frac{dx}{(a + x)^2}
  • İntegrali hesaplayalım:
    \int_0^L \frac{dx}{(a + x)^2} = \left[-\frac{1}{a+x}\right]_0^L = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L}

Adım 4 — Son ifadeyi yazma

  • Elektrik alan büyüklüğü:

    E = k \lambda \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+L}\right)

  • Elektrik alan yönü, çubuktan P noktasına doğru yani negatif x doğrultusunda (P sola doğru) olacaktır.

Yüzeysel yük yoğunluklu, yalıtkan, sonsuz artı yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Sonsuz yüklü düzlemin elektrik alan büyüklüğü:
    E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}
    (Burada \sigma yüzey yük yoğunluğu)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Düzlemin sonsuz olduğunu dikkate al

  • Sonsuz düzlem için elektrik alan yönü, yüzeye dik ve yükün işaretine göre yönlenir.

Adım 2 — Elektrik alan büyüklüğünü yaz

  • Pozitif yük olduğundan elektrik alan düzlemin her iki tarafına da yüzeye dik ve dışa doğrudur.

Adım 3 — Sonuç ifadesi

E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

L uzunluklu bir çubuğun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu \lambda dır. Çubuğun bir ucundan a uzaklıktaki P noktasındaki elektrik alanı nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Coulomb yasası ve sürekli yük için dq = \lambda\,dx, elektrik alan için süperpozisyon ve integral kullanılır:

dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kurulum

Çubuğun üst ucu x=0, alt ucu x=L olacak şekilde x eksenini aşağı doğru alalım.

Bir eleman yük:

dq=\lambda\,dx

Eleman ile P arasındaki uzaklık:

r=a+x

Elektrik alanın büyüklüğü (eleman katkısı):

dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{(a+x)^2}

Adım 2 — İntegral yazımı

Toplam elektrik alan:

E=\int_0^L \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda\,dx}{(a+x)^2}
E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_0^L \frac{dx}{(a+x)^2}
E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\left[-\frac{1}{a+x}\right]_0^L
E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{1}{a+L}+\frac{1}{a}\right)
E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)
E=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{L}{a(a+L)}

\lambda=\dfrac{Q}{L} yerine koyarsak:

E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{a(a+L)}

Adım 3 — Yön belirtilmesi

Eğer yük pozitif ise elektrik alan P noktasında çubuktan uzağa, yani yukarı doğrudır.

Yüzeysel yük yoğunluğu \sigma olan, yalıtkan, sonsuz artı yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Gauss yasası: \displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kurulum

Sonsuz düzlem için simetri nedeniyle \mathbf{E} düzleme dik ve aynı büyüklükte her noktada olacaktır.

Gauss yüzeyi olarak düzlemi kesen bir silindir (pillbox) seçelim; silindirin iki tabanı düzlemin iki tarafında, alanı A olsun.

Adım 2 — Gauss uygulaması

Kapalı yüzey üzerindeki toplam akı:

\Phi=E\cdot A+E\cdot A=2EA

Silindir içinde kalan yük:

Q_{\text{enc}}=\sigma A

Gauss yasası:

2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}
E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}

Adım 3 — Yön belirtilmesi

Pozitif \sigma için alan düzlemin her iki tarafında dışarıya doğrudur (düzlemden uzağa doğru).

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Sürekli yük dağılımı

  • Tanım: Yük, küçük parçacıklara bölünerek her bir parçanın katkısı toplanır.
  • Bu problemde: Doğrusal yük yoğunluğu \lambda ile dq=\lambda\,dx kullanıldı.

2. Gauss yasası

  • Tanım: Kapalı yüzey üzerinden çıkan akı, o yüzeyin içerdiği yükün \epsilon_0 ile oranına eşittir.
  • Bu problemde: Sonsuz düzlem simetrisi sayesinde pillbox kullanılarak kolayca bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış mesafe seçimi

  • Yanlış: Eleman ile P arasındaki uzaklığı x almak.
  • Doğru: Uzaklık a+x olmalıdır.
  • Neden yanlış: Bu hata integrali ve sonucu hatalı yapar.
  • Düzeltme: Koordinat seçiminde sabit uzaklık a yı unutmayın.

:cross_mark: Sonsuz düzlem için E=\sigma/\epsilon_0 kullanmak

  • Yanlış: İzalator (yalıtkan) düzlemde E=\sigma/\epsilon_0 yazmak.
  • Doğru: İzolator için E=\sigma/(2\epsilon_0).
  • Neden yanlış: E=\sigma/\epsilon_0 iletken yüzeyin dış alanı için doğrudur (içeride sıfır), izolatörde iki tarafa eşit akı olduğundan faktör 1/2 gerekir.
  • Düzeltme: Problemin iletken/yalıtkan olduğuna dikkat edin.

:white_check_mark: CEVAP:

  • Çubuk problemi: \displaystyle E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{a(a+L)}, yönü pozitif yük için çubuktan uzağa (yukarı).

  • Sonsuz düzlem problemi: \displaystyle E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}, yönü pozitif yük için düzlemin her iki tarafında dışarıya doğrudur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?