Soru:
SORU I
L uzunluklu bir çubugun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu À dır. Çubuk ekseni üzerinde,
çubuğun bir ucundan a uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz?
a
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
L uzunluklu bir çubuğun bir ucundan a uzaklığında P noktasındaki elektrik alanı bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Yük yoğunluğu: \lambda = \frac{Q}{L}
- Elektrik alan formülü (elektriksel noktasal yük için): dE = \frac{k \, dQ}{r^2}
- k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} (Coulomb sabiti)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yük yoğunluğunu ve eleman yükü tanımla
Çubuk boyunca birim uzunluktaki yük yoğunluğu \lambda verilmiş.
Bir uzunluk elemanı dx üzerindeki yük:
dQ = \lambda \, dx = \frac{Q}{L} dx
Adım 2 — P noktasına olan uzaklığı ifade et
P noktası, çubuğun bir ucundan a uzaklıkta.
Uzunluk elemanı, çubuğun ucundan x uzaklıkta olsun (0’dan L’ye değişiyor).
P noktasından dx elemanına uzaklık:
r = a + x
Adım 3 — Elektrik alan elemanını yaz
dx elemanının yarattığı elektrik alan büyüklüğü:
dE = \frac{k \cdot dQ}{r^2} = \frac{k \cdot \lambda dx}{(a + x)^2}
Adım 4 — Yön ve toplam elektrik alan
Elektrik alan doğrultusu, doğrudan çubuk ekseni boyunca ve yukarı doğrudır (elektrik alanın yönü pozitif).
Toplam elektrik alan:
E = \int_0^L \frac{k \lambda}{(a+x)^2} dx
Adım 5 — İntegrali çöz
E = k \lambda \int_0^L \frac{1}{(a+x)^2} dx = k \lambda \left[ -\frac{1}{a+x} \right]_0^L = k \lambda \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right)
Adım 6 — Son ifadeyi yaz
E = k \cdot \frac{Q}{L} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right)
CEVAP:
P noktasındaki elektrik alan büyüklüğü:
\boxed{
E = k \frac{Q}{L} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+L} \right)
}
burada k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
L uzunluklu bir çubugun toplam yükü Q boyca yük yoğunluğu \lambda dır. Çubuk ekseni üzerinde, çubuğun bir ucundan a uzaklığında bir P noktasındaki elektrik alanı bulunuz?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Coulomb Yasası (lineer yük için):
dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kurulum
Çubuk üzerindeki bir x konumundaki küçük eleman için:
dq=\lambda\,dx
\lambda doğrusal yük yoğunluğu olup \lambda=\dfrac{Q}{L} dir.
P noktasına olan uzaklık:
r=a+x
Adım 2 — İntengral İfadesi
Küçük elemandan gelen skaler büyüklükteki elektrik alan:
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(a+x)^2}
\,dq=\lambda\,dx yerine konur:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{L}\frac{\lambda\,dx}{(a+x)^2}
Adım 3 — İntegrali Hesapla
Sabitleri dışarı al:
E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{L}\frac{dx}{(a+x)^2}
İntegralin sonucu:
\int\frac{dx}{(a+x)^2}=-\frac{1}{a+x}
Sınırlar uygulanır:
E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{a+x}\right]_{0}^{L}
Limitleri yerine koy:
E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{a+L}+\frac{1}{a}\right)
Sadeleştir:
E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)
\lambda=\dfrac{Q}{L} ifadesini kullan:
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{L}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+L}\right)
CEVAP:
\boxed{\,E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{L}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+L}\right)\,}
(Yön: Q>0 ise alan çubuktan uzağa, yani P noktasından aşağıya doğrudır; işaret ve yöneyi vektörel gösterimle belirtmek gerekirse \vec{E}=E\,\hat{n} şeklinde yazılır.)
TEMEL KAVRAMLAR:
- Coulomb Yasası
- Tanım: Noktasal yük için elektrik alan büyüklüğü E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2} dir.
- Bu problemde: Çubuk küçük elemanlara bölünerek her elemanın katkısı süperpoze edilir.
- Doğrusal yük yoğunluğu (\lambda)
- Tanım: \lambda=\dfrac{Q}{L}.
- Bu problemde: Her küçük eleman dq=\lambda\,dx ile ifade edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Uzaklık hatası
- Yanlış: P ile eleman arasındaki uzaklığı x almak.
- Doğru: Uzaklık a+x olmalıdır.
- Neden yanlış: İntegralde doğru değişken kullanılmazsa sonuç hatalı olur.
- Düzeltme: Koordinatı çubuğun ucundan başlatıp r=a+x kullan.
İşaret/yön karışıklığı
- Yanlış: Sonucun skaler olarak alınması ve yönün göz ardı edilmesi.
- Doğru: Pozitif yük için alan çubuktan uzağa doğrudur; işaret vektörel gösterimde belirtilmelidir.
- Neden yanlış: Fiziksel yöndürme okunmadan salt büyüklük kafa karıştırır.
- Düzeltme: Yönü belirtin veya birim vektörle gösterin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?